【摘要】：实数集R是数直线上的所有数组成的集合，被称为实数连续统，因为它能够无空隙地填满数直线.可以构造函数y=，将（0，1）一一对应到，所以（0，1）和的元素的个数是一样多的.康托尔考虑了0与1之间所有实数组成的无穷集合，他用反证法和构造法证明了它不能和正整数集合建立一一对应关系.假定已经存在一个由（0，1）中所有的实数排列的完整数列可以构造出这样的一个数0.b1b2b3…：b1≠a11，b2≠a22，…
实数集R是数直线上的所有数组成的集合，被称为实数连续统，因为它能够无空隙地填满数直线.
假定已经存在一个由（0，1）中所有的实数排列的完整数列
可以构造出这样的一个数0.b1b2b3…bn…：b1≠a11，b2≠a22，…，bn≠ann…依此类推，结果构造出来的这个数不可能出现在上述数列中的任何位置，因为它与其中所有数都是不同的，反证的假设不成立，即开区间（0，1）中的全体实数不可列.从而，实数集R与正整数集N+之间不能建立一一对应.
康托尔的理论明确指出了任意两条线段，无论它们的长度如何，都含有相同数量的点，并且任意线段上点的数量总是c.除了直线或直线段，康托尔还考虑了平面上的点，经过3年（1874—1877）研究之后，他构造出了单位正方形与区间（0，1）的一个一一对应，进而说明了平面上的点与直线上的点同样多，他还证明了三维空间（直至n维空间）上的点与直线上的点同样多，均为c.这些结论完全颠覆了以往的观念.(www.xing528.com)
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