19世纪末，德国数学家康托尔（G.Cantor，1845—1918）创立的集合论是具有革命性的创新结果，并很快成为了现代数学的基石.法国著名数学家庞加莱（H.Poincaré，1854—1912）在1900年的国际数学家大会上曾宣布：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦.”
集合是高中代数中接触的第一个概念，它十分简单易懂.在大学数学中，函数、线性空间、拓扑空间、事件域等基本概念，其中都涉及集合.因此，集合论在今天的数学中具有重要意义，然而，集合论真正的精髓在于康托尔对无穷集合的探索过程以及所得到的超穷数理论.
自然数是确定的基本概念，每一个自然数都是有限的数，但是将自然数全体作为一个对象来研究就不可避免要遇到无穷.在康托尔之前，数学家一般只考虑潜无穷，即一种无限增长的可能性.而康托尔将无穷大本身作为研究对象，考虑实无穷，即将无穷视为一个完成了构造的实体.他提出无穷集合的概念，并以一一对应关系为基本原则，引进了无穷集合之间比较大小的新方法.所谓一一对应就是指集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，反之亦然.如果两个集合之间能够建立一一对应，很明显，这两个集合所包含的元素个数一定相等，数学的术语称这两个集合具有相同的基数或势.
利用康托尔一一对应的方法，可以很容易解释伽利略悖论——正整数集合N+=｛1，2，3，…，n，…｝与正整数平方的集合G=｛1，4，9，…，n2，…｝，哪个集合包含的元素个数多？一方面，正整数集合里包含了所有的平方数，前者包含的元素个数显然比后者多；另一方面，每个正整数平方之后都唯一地对应了一个平方数，两个集合包含的元素个数应该相等（图2-3），这导致矛盾.(www.xing528.com)
图2-3 伽利略悖论
人们之所以认为正整数的个数与其平方数的个数相等是荒谬的，是因为这与古希腊人作为公理接受的常识性观念“整体大于部分”相悖，康托尔敏锐地抓住了无穷集合的特征，将无穷集合定义为可以与自己的一个真子集一一对应的集合，而对于有限集合这是不可能的.
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