定义1 设G是一个带有运算“·”的非空集合，且其中的运算满足
（1）封闭律：对∀a，b∈G，有a·b∈G；
（2）结合律：对∀a，b，c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；
（3）幺元律：存在单位元1∈G，对∀a∈G，有1·a=a·1=a；
（4）逆元律：对∀a∈G，∃a-1∈G，使得a·a-1=a-1·a=1.
则称集合G对于运算“·”构成一个群（Group），记为｛G；·｝，简称G是一个群.例如，以Z表示由整数所组成的集合，则Z在通常的加法运算“+”下构成一个群.
若满足（1）和（2）两条运算规律（封闭律和结合律），则称G对于运算“·”构成一个半群.对于G中的任意元素a，b，若还有a·b=b·a，则称G对运算“·”构成一个交换群.例如，Z在通常的加法运算“+”下构成一个交换群.
一个代数运算用什么符号表示是没有关系的，一个交换群的代数运算，在某种场合下，用加法符号表示更方便.
定义2 一个交换群称为加群，假如我们把这个群的代数运算称为加法，并且用符号“+”来表示.
例1 考虑一个正方形，将它进行刚体变换（一种变换前后两点间的距离依旧保持不变的变换），则该正方形变到与自身重合的不同变换的类型有：绕中心旋转变换四种（旋转角度分别为0°，90°，180°，270°），轴反射变换四种（有4条不同的对称轴）.容易证明上述的8种变换不论经过多少次重复作用产生的复合变换或是做逆变换仍是这8种变换，不可能产生新的变换.(www.xing528.com)
将上述任意两种变换的相继实施看成是这两种变换的运算“·”，则可以验证这样的运算“·”满足封闭律、结合律（但不满足交换律），存在单位元（绕中心旋转的角度为0°变换），满足幺元律和逆元律.因此正方形变到与自身重合的上述8种变换组成的集合G就是一个群，称为正方形的对称群（图2-2）.其中绕中心旋转，旋转的角度为0°的变换效果是正方形的边、角都没有动，固定不动也是一种变换.
图2-2 正方形的对称群（按照图示的正方形顶点字母记号）
从例1可见，群论的重点在于，在一定的限制条件下，有多少种方式可以转化一个形状，使得这个形状的本质保持不变，即所谓的“变中有不变”.这些转化方式就称为这个形状的“对称性”，这些转化方式的集合就形成一个“群”.
群的应用十分广泛，因为分子和晶体里有太多的对称性，群论提供了处理它们的结构和行为的工具.关于晶体的分类，物理学家、化学家、晶体学家进行了很多研究，最后用群论给出了结论：晶体只有230种可能的结构.
20世纪上半叶，物理学家发现群论这种数学语言可以统一能量守恒定律、动量守恒定律、角动量守恒、宇称守恒定律等反映客观世界对称性的理论.
现代粒子物理学也完全依赖群论，种类繁多的新粒子之所以能被整齐归入标准模型，都是因为对称性的研究功劳.事实上，相当多的新粒子是被群论预测出来，再被实验发现的.
在二维装饰图案中，有了变换群（由变换构成的群）的概念以后，数学家从理论上证明了总共有17种本质上不同的对称性.在古埃及的装饰物中，确实可以找到所有这17种对称性图案.
上述的诸多例子说明，群论是科学和艺术之间的一座桥梁，涉及了“对称性”这一人类追求和喜爱的主题，它高度地抽象出了“对称”的最本质特征.
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