哈密顿四元数：三维复数的探索

方程x2+1=0的解被数学家用“i”表示，作为虚数单位，代表一个与实数不同的虚幻的数，一个满足i2=-1的数，它不存在于实数轴上，而是存在于一条和实数轴垂直的称为“虚轴”的轴上.接着，数学家将“a+bi（其中a，b∈R）”称为复数，因为它包含两种数，即实数和虚数，具有“复合”的含义.这种表示下的复数有了具体的几何意义（图2-1）：图像上可以表示横坐标为a，纵坐标为b的点P，即笛卡尔平面直角坐标系中的点P（a，b），同时，也可以表示起点是原点O（0，0），终点是P（a，b）的平面向量.

图2-1　复数的几何意义

对于平面向量，二维复数的引进提供了表示向量及其运算的一个代数，与数直线上的数一样，复数也可以进行加、减、乘、除运算.人们不一定要几何地做出这些运算，但能够代数地研究它们，像曲线的方程能用来表示曲线和研究曲线一样.例如，对于平面上的两个力的合力，可以用平行四边形法则几何地做出来，但也可以采用向量的加法代数地表示出来，例如，2+3i与4+5i之和为

在乘法运算中，一个正数c乘以i意味着起点是原点O（0，0），终点是C（c，0）的平面向量逆时针方向旋转90°，如果用i2去乘以正数c，这个向量就会逆时针旋转180°，与原来向量方向相反，这就解释了i2=-1的原因.

有了用二维复数表示90°旋转的简洁方法，处理电压、电流、电场或磁场的涉及振动或波动频率出现90°相位差变化问题就方便了.同样，在航空航天工程领域，利用复数可以简化机翼升力的计算，在土木和机械工程领域，复数可以提供对建筑物的振动等情况的分析.

二维复数的利用受到维数的限制，因为复数是用来表示平面上的向量，但是若有几个力作用于同一物体，这些力不在一个平面上，代数上为了处理这些力就需要复数的一个三维类似物.尽管我们能用点的通常笛卡尔坐标（x，y，z）来表示从原点到该点的向量，但不存在三元数组的运算来表现这种向量的运算（见讨论题），要寻找的三维复数的类似物就要求这些运算和二维复数的情况一样，表面看来必须包括加、减、乘、除，且服从通常的结合律、交换律和分配律，使代数运算能自由而有效地运用.

数学家们开始寻找所谓三维复数及它的代数，经过无数次的失败，1843年，爱尔兰数学家哈密顿（W.R.Hamilton 1805—1865）历经10多年之久的思考，终于开创性地创造了二维复数的空间类似物——哈密顿四元数.根据哈密顿记述，他于1843年10月16日与妻子在都柏林的皇家运河边散步时，突然迸发了思想的小火花，之后哈密顿立刻将四元数的结果刻在附近的布鲁穆桥上.

定义 哈密顿四元数（简称四元数）是形如a+bi+cj+dk的数，其中a，b，c，d∈R，i2=j2=k2=-1，jk=i，kj=-i，ki=j，ik=-j，ij=k，ji=-k.

从上述定义中，可以看出四元数有两个特点：①包含四个分量，而不是三个分量；②不具有乘法的交换律.

四元数中的虚数单位i，j，k起着i在复数中所起的作用.四元数的实数部分称为四元数的数量部分，而其余是向量部分.向量部分的三个系数是点P的笛卡尔直角坐标，i，j，k是定性单元，几何上其方向是沿着三个坐标轴.

对任意两个四元数a1+b1i+c1j+d1k和a2+b2i+c2j+d2k，其加法和乘法定义如下：(www.xing528.com)

（1）（a1+b1i+c1j+d1k）+（a2+b2i+c2j+d2k）=（a1+a2）+（b1+b2）i+（c1+c2）j+（d1+d2）k.

（2）（a1+b1i+c1j+d1k）（a2+b2i+c2j+d2k）=a3+b3i+c3j+d3k.

其中乘法所有熟知的代数规则都假定有效，除了i，j，k乘积时，交换律不再满足，代之以定义中给定的规则.

四元数这个新“数”包含四个分量，后来在几何的基础上给出了合理的解释：将四元数的虚部bi+cj+dk等同于三维空间中的点（b，c，d），则用四元数能够描述向量的三维旋转，实部a与点（b，c，d）一起描述了向量的伸缩.也就是，四元数能通过旋转、伸长或缩短将一个向量变成另一个向量.

在实际应用中，做事情的顺序往往很重要，先做还是后做结果往往不同，因为与我们的直觉相抵触，所以乘法交换律并没有得到广泛的认可，尤其对于物理学家而言，他们对“自然界的规律不服从交换律”有着更为深刻的理解.在量子力学发展初期，德国著名物理学家海森堡（W.K.Heisenberg，1901—1976）发现了一条和我们直觉极不相符的重要定律——海森堡测不准原理.这条原理的内容是：若用p表示一个粒子的动量，用q表示这个粒子的位置，那么p×q≠q×p.如果自然界没有这种神奇的不可交换律，原子就会毁灭，万事万物包括我们人类都不可能存在.

四元数对于代数而言，具有不可估量的重要性.一旦数学家们体会到可以构造一个有意义的、有效的、有用的“数”系，它可以不具有实数或复数在乘法运算时的交换性质，那么他们就可以更自由地考虑，甚至更偏离实数和复数的通常性质的创造.年轻的英国数学家凯莱（A.Cayley，1821—1895）受到哈密顿发明四元数的启发，继续建立了一种八元数（凯莱数）.越来越多的数学家接受了这些源于常见运算规则之外的衍生结果，到1940年代，人们已经相信存在一维、二维、四维和八维的虚数系.根据翻倍的规则，能否进一步建立十六维的代数系呢？经过多年的努力，数学家给出了答案：实数、复数、四元数、八元数系是仅有的可以进行加、减、乘、除运算的系统.因此，不可能建立十六维的代数.

令人惊奇的是，在计算机时代，四元数找到了自己的价值.在三维几何的旋转计算中，使用四元数比使用矩阵更有优势.因此，在机器人技术、计算机视觉和图像编程领域，四元数都是极为重要的工具.哈密顿的结果帮助建立了全球数以千亿计的计算机产业.