数学：从算术到完美数字过程

开始于自然数的计数系统，随着时间的推移，不能满足人们的需求，例如描述小于0的情形需要负数，描述整体的一部分需要分数等等.

例1 任何有理数（分数）转化为小数以后，或者是整数，或者是有限小数，或者是无限循环小数（这个结论可以严格证明）.并且，可以十分容易地构造无限不循环小数（无理数），例如，0.131 331 333 133 331….

有理数原文是“rational number”，其中“rational”一词来源于“ratio”，是“比例”的意思，近代中国曾将“rational number”译为更为贴切的“比例数”.无理数原文是“irrational number”，更为贴切的译法应为“非比例数”.

例2 证明：（1）有理数集Q是可数集（能与正整数集N+建立一一对应关系的集合称为可数集）；（2）几乎所有的小数都是无理数.

（2）为方便计，只在［0，1］上考虑问题.下面证明在此区间上，有理数的“长度”为0，无理数的“长度”为1.

因为有理数是可数的，不妨设为r1，r2，…，rn，…，对∀ε＞0（这里ε是任意小的正数），有

从而，在［0，1］上的有理数的“长度”为

例2说明，无理数非常之多，远多于有理数.而且从统计的角度看，作为无限不循环小数的无理数，它的各个数字的排列也是十分随机的.从而，可以说，对于实数而言，我们熟悉的整数和分数其实是稀少的，而毫无章法的无理数才是主流.

证明(www.xing528.com)

当n≥2时，

e是大学数学中最重要的无理数，作为自然对数的底，它与自然界中许多现象的数学规律密切相关，在物理学有关波（如声波、光波、量子波）的方程中被普遍应用.