3.2.1 蝴蝶效应
美国气象学家洛伦兹（E.N.Lorenz，1917—2008）在天气预报中的发现是混沌认识过程中的一个里程碑.1960年代初，他利用计算机进行天气模拟，试图进行长期的天气预报，他将温度、湿度、压力等气象数据输入，计算机会依据内建的微分方程，计算未来的气象数据以及模拟气象变化图.因为当时的计算机运转速度缓慢，洛仑兹在进行比较长的计算时，不得不中途关了一下计算机，打印了已经计算出的所有数据，然后回退几步，重新计算，结果发现了一个奇怪的现象.一开始，新数据与旧数据相同，但后来逐渐不同，而产生的原因是计算机存储的数据比打印的数据多了几位小数.初值的小小差别，经过逐步的放大，结果却会引起后面很大的不同.
1972年，洛伦兹提出了“蝴蝶效应”：巴西境内的一只蝴蝶扇动翅膀可能会引起德克萨斯州的一场龙卷风，用以比喻长时间大范围的天气预报往往因为一点点微小的因素造成难以预测的严重后果.这就是说，初始条件是极端敏感的，它会导致不可预测的无序行为.因此，即使我们可以完全确定质点的运动规则，我们也不能在它们的速度、质量或温度的测量中得到足够的细节去预测一个长期的行为.
下面这个例子可以说明“蝴蝶效应”.假设当前实数为4.870 016 4，未来的规则是：将当前数字乘以10，并去掉所有使结果大于10的开头数字，得到下一个状态，进行6步，我们得到
4.870 016 4，8.700 164，7.001 64，0.016 4，0.164，1.64，6.4.
如果假设最初测量得到的实数不准确，应该是4.870 012 4，多数情况下，这是一个微不足道的误差，但按照规则，进行6步，我们得到
4.870 012 4，8.700 124，7.001 24，0.012 4，0.124，1.24，2.4.
再假设每一步状态是按照1秒时间推移，则仅仅过了6秒，预测就从6.4变为2.4，误差就变很大了.(www.xing528.com)
3.2.2 混沌理论
混沌理论是动力系统理论方面的一个重要发现.如果某个系统的当前状态完全能够确定它的未来行为，则该系统称为确定性的；反之称为随机性的.混沌是确定性动力系统的随机行为.
混沌理论发现的第一人并非洛仑兹，早在1887年，法国数学家庞加莱在三体问题（只有太阳、地球和月亮三个个体的太阳系的稳定性问题）的研究中，发现描述三体系统运动的方程尽管是确定的，但是它们的解是非确定的，即三体系统有时按照不规则、不稳定的方式运行，他第一个指出确定性数学规律并不总是意味着可预测的规则行为.
1975年，我国台湾数学家李天岩和他的导师约克（J.Yorke）在《美国数学月刊》上发表了一篇影响深远的论文《周期3蕴含混沌》.该文在混沌发展的历史上起了极为重要的作用，这是“混沌”（chaos）一词第一次在数学文献中出现.自此，混沌是有确切数学内容的一个新的科学术语.
虽然混沌系统是不可预测的，但它并不是随机的，而是存在着隐藏的“模式”，如果在三维空间标出洛仑兹模型（一种流体运动模型）的解，它们会组成一个称为洛仑兹混沌吸引子（图1-4）的复杂形状，但是用随机数据，则会得到一团乱麻.
图1-4 洛伦兹混沌吸引子
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