3.1.1 海岸线问题
19世纪初，英国学者理查逊（L.F.Richardson，1881—1953）发现很多相邻的两个国家对公共的过境河岸长度测定不同，在西班牙、葡萄牙、比利时、荷兰的百科全书中，各国各自测量的公共海岸线长度相差最多可达20%.于是，他向全世界提出了海岸线长度问题.
1967年，法国数学家孟德尔布罗（B.Mandelbrot，1924—2010）在《科学》杂志上发表具有划时代意义的论文《英国的海岸线有多长？统计自相似性与分数维数》.他从数学的角度对海岸线问题做出了分析与回答，“事实上，任何海岸线在某种意义上都是无限长”，“随着测量尺度的变小，测出的海岸线长度无限增大.大海湾内有小海湾，小半岛之外有更小的半岛，直到原子的尺寸才达到终点，而那里的尺度是无限地复杂.”因此，孟德尔布罗的结论是：当测量尺子无限变小时，海岸线长度会无限增大；当尺子的长度趋于零的时候，海岸线的长度趋于无穷大，所以海岸线长度是不确定的.
测量海岸线的长度与测量规则图形周长的情况很不一样，例如古希腊或中国古代用“割圆术”求圆周的周长，得到的是确定的结果.孟德尔布罗突破了欧氏几何的束缚，意识到长度并不能完全概括海岸线这类不规则图形的特征.海岸线还有一个非常重要的特征——自相似性：海岸线的任何一小部分都包含有与整体大致相似的细节，无论你以何种尺度观测图形，你都能看到同样的特征.孟德尔布罗从数学的角度，采用科赫曲线（见3.1.2小节）作为海岸线的数学模型，找到了问题的症结在于海岸线图形的复杂以及不同的测量用尺.他于1975年提出“分形”这一术语，用以区分与欧氏几何中外形相仿的那些没有规则的几何图形.
3.1.2 科赫曲线
1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch，1870—1924）构造了今天称之为“科赫曲线”的几何对象.其做法是：先给定一个边长为1的正三角形，然后在每条边中间的1／3处再向外凸出作一个正三角形，原三角形变为12边形；再在12边形每条边的中间的1／3处向外作一个正三角形，得到48边形；在48边形上重复前面产生正三角形的过程，依次类推，在每条边上都做类似的操作，以至于无穷（图1-3）.这样构造的图形其外形的结构越来越精细，它好像一片理想的雪花，称为科赫曲线（也称科赫雪花或雪花分形）.
图1-3 科赫曲线的形成过程
第n次分形的周长为：
第n次分形的面积为：
这说明，科赫曲线是面积有限而周长无限的图形.科赫曲线处处不光滑，且具有自相似结构，这显然与欧氏几何中的任何平面图形都不一样.
科赫曲线的作图步骤是无限的，当测量用尺的长度趋于零的时候，测量得到的科赫曲线的长度便趋于无穷大.这与孟德尔布罗对海岸线问题研究得到的结论（当测量用尺长度趋于零时，海岸线的长度趋于无穷大）本质上是相同的.(www.xing528.com)
3.1.3 分数维
维数和测量有密切的关系，欧氏空间中的维数都是整数，例如，点是零维的，直线是一维的，平面是二维的，空间有三维的，也有n（n是正整数）维的.欧氏几何的传统形状是三角形、正方形、圆、圆柱体、球体等规则而简单的图形，它们没有精细的结构，例如，将圆放大，它的任何部分看上去都越来越像一条直线.但是与海岸线一样，自然界中普遍存在着没有合适的整数维数去度量的复杂图形，例如，参差不齐的山峦、无固定形状的云朵、大量枝叶组成的树木、无规则外形的闪电、人的掌纹等等这些分形.
为描述分形的维数，孟德尔布罗发明了“分数维”的概念，用以度量图形的不规则性和破碎程度.现在有许多定义分形维数的方式，如自相似维数、容量维数、信息维数、盒子维数、豪斯道夫维数等等，其中最容易理解的是自相似维数.对于非分形的形状，线段是1／5长度的5个线段之并，正方形是边长为原边长1／5的52个正方形之并，而立方体则为边长为原边长1／5的53个立方体之并.这里出现的5的幂次与形状的维数相同，线段是一维的，正方形是二维的，立方体是三维的.一般地，如果维数为D，并且我们必须将1／n大小的k段结合起来重组原形状，那么k=nD，从而，D=ln k／ln n.因此，数学家给出了如下的自相似维数的定义.
定义 如果某图形是由把全体缩小1／n的k个相似图形构成时，则自相似维数为D=ln k／ln n.
根据自相似维数的定义，考虑科赫曲线，其中k=4，n=3，因此可以算出科赫曲线的维数D=ln 4／ln 3=1.261 8….实际上，海岸线的维数接近于科赫曲线的维数，介于1和2之间.
维数理论告诉我们：对任何一个有确定维数的几何对象，只能用与它有相同维数的量尺去测量它.量尺的维数更小，则结果为无穷大；量尺的维数更大，则结果为零.孟德尔布罗指出对于任何一种不规则的分形，都存在一个可用于描绘分形不规则程度的分数维，这是几何学史上的一件大事.
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