数学模型是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构.数学模型方法是指借助数学模型来揭示对象本质特征和变化规律的一种基本的数学方法.
例1 哥尼斯堡七桥问题（确定的数学模型）
1735年，瑞士大数学家欧拉由于一个偶然的问题，开创了图论和拓扑学.当时，普鲁士的普莱格尔河上有七座桥，将河中的两个岛与河岸相连.有人提出了问题：能否一次走遍七桥，每座桥只走一次，最后回到出发点？
欧拉使用数学模型方法证明此题无解.推而广之，他提出这种类型的问题有解的标准.欧拉指出，具体的几何数据，比如桥的宽窄、长短是什么无所谓，关键的是事物之间的联系.因此，他将这道题简化成了一个简单的点的网络图，点与点之间用边相连，每个点代表一块陆地，每条边代表一座桥（图1-1）.
图1-1 哥尼斯堡七桥图及其简化的网络图
按照上述想法，得到四个点七条边.这道题就简化为：能否找到一条遍历该网络的路径，包括每条边一次且仅包括一次（简称一笔画问题）？欧拉将这种遍历路径分成两类：一类称为开放路径（起点和终点不是同一点）；另一类称为闭合路径（起点与终点是同一点）.他证明了哥尼斯堡七桥问题中的这个特定网络不属于这两类路径中的任何一个.
欧拉的分析过程大致是这样的：假设某个网络上存在闭合路径，每当这个路径中的一条边遇到一个点时，那么一定有下一条边从那个点引出.因此，如果存在闭合路径，那么与任何给定点相连的边的条数必须为偶数，即每个点必须有偶数个秩（与这个点相连的边数）.因此，哥尼斯堡七桥的网络图不存在任何闭合路径，因为那个网络有三个点的秩为3，一个点的秩为5.开放路径也有类似的标准，但是必须恰好两个点是奇数秩，一个是路径的起点，另一个是终点.哥尼斯堡七桥网络图中有四个点是奇数秩，因此也不存在开放路径.
例2 蒲丰投针试验（随机数学模型）
1777年，法国科学家蒲丰（G.L.L.de Buffon，1707—1788）提出了著名的投针试验方法.这一方法的步骤如下：
（1）取一张白纸，在上面画上许多条间距为a的平行线；
（2）取一根长度为l（l＜a）的针，随机地向画有平行直线的纸上掷N次，观察针与直线相交的次数n；(www.xing528.com)
（3）计算针与直线相交的概率p.
以x表示针的中点到最近的一条平行线的距离，φ表示针与平行线的交角.
图1-2 投针试验
在科学史上，不乏数学模型的精彩范例.例如，牛顿万有引力定律是力学中的经典数学模型；麦克斯韦方程组是电磁学中的数学模型；门捷列夫元素周期表是化学中的数学模型；孟德尔遗传定律是生物学中的数学模型…….
数学模型方法应用日益广泛的原因有三条：一是社会生活的各个方面日益数量化；二是计算机的发展为精确化提供了条件；三是很多无法试验或费用很大的试验问题，用数学模型方法进行研究是一条捷径.今天，数学模型方法和计算机技术在知识经济时代已经成为人们不可或缺的工具，数学技术成为当代高新技术的重要组成部分.
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