归纳法与数学归纳法分属于不同的方法论范畴，但二者之间存在密切的联系，常常一起使用.
2.3.1 归纳法
归纳法是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的一种思维方法.归纳法是实验科学最基本的方法，本质上属于逻辑学的范畴.
近代科学中最早使用归纳法的始祖是英国思想家、哲学家培根（F.Bacon，1561—1626），他在1620年出版的《新工具》、1623年出版的《论科学的价值和发展》两本著作中，提倡归纳法和实验科学.
归纳法包括完全归纳法和不完全归纳法，不完全归纳法的特点决定了它在数学研究上常用于猜测和推断.
例1 费马数
1732年，瑞士数学家欧拉（L.Euler，1707—1783）分解出F5=641×6 700 417，这说明F5不是素数，从而费马的猜想是错的.此后，人们对更多的费马数进行了研究，又陆续找到了200多个反例，却还没有找到第6个正面的例子.
例2 哥德巴赫猜想
德国数学家哥德巴赫（C.Goldbach，1690—1764）1742年给瑞士大数学家欧拉的信中提出以下猜想（哥德巴赫猜想）：任一大于2的整数都可写成三个素数之和（注：当时人们认为1也是素数）.欧拉在回信中提出另一版本，即任一大偶数都可写成两个素数之和.现在人们常见的哥德巴赫猜想陈述为欧拉的版本，把命题“任一充分大的偶数都可以表示成为一个素数因子个数不超过a个的数与另一个素数因子不超过b个的数之和”记作“a+b”，哥德巴赫猜想也就因此被人们称为“1+1”.1966年，我国数学家陈景润（1933—1996）证明了“1+2”成立，即“任一充分大的偶数都可以表示为1个素数及一个不超过2个素数的乘积之和”.1973年，他在《中国科学》上发表论文给出了详细的证明方法，在国际数学界引起轰动，陈景润得到的结论被命名为“陈氏定理”.至今，哥德巴赫由归纳法给出的猜想仍没有得到完全的解决.(www.xing528.com)
2.3.2 数学归纳法
数学归纳法是一种只在数学中使用的完全归纳法.它主要用来研究与正整数n有关的数学命题，在高中数学中常用来证明等式、不等式或数列通项公式等.
数学归纳法的内容是：假设p（n）是一个含有正整数n的命题，如果
（1）p（n）当n=1时成立（归纳起点）；
（2）若在p（k）成立的假定下，则p（k+1）也成立（归纳推断）.那么命题p（n）对任意正整数n都成立.
数学归纳法利用有限递推的方法论证涉及无限的命题，成为沟通有限和无限的桥梁，得到了数学家的重用.
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