1.2.1 定义
数学，曾为中国古代六艺之一，也被古希腊学者视为哲学的起点.数学的英语为Mathematics，源自于古希腊语，意思是“学问的基础”.
19世纪，恩格斯（F.V.Engels，德，1820—1895）说过：“数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学.”这是一个一度得到大家广泛共识的数学的定义.随着现代科学技术和数学科学的发展，人类进入信息时代，“数量关系”和“空间形式”具备了更丰富的内涵和更广泛的外延.“混沌”“分形”等新的数学分支出现，这些分支已经很难包含在上述定义之中，人们在寻找数学的新“定义”.
南京大学方延明教授在其编著的《数学文化》一书中，搜集了15种数学的定义或者说是人们对数学的看法：万物皆数说，符号说，哲学说，科学说，逻辑说，集合说，结构说，模型说，工具说，直觉说，精神说，审美说，活动说，艺术说、创新说.这些定义反映了数学的局部或特定的特征，并未得到广泛的认可.
在最近30年间，“数学是研究关于模式的科学”这一定义得到数学家的普遍赞同.这些模式可以是真实的、虚构的、可视的、心智的、静态或动态、定性或定量等，可以源自物理世界、源自时间和空间的深度或源于人类心智的内部运作.不同模式则引出不同的数学分支.
1.2.2 特点
数学科学的特点是：抽象性、精确性和应用的广泛性.这三个特点得到了包括数学家在内的绝大多数人的广泛共识.
任何学科都有抽象的成分，但是数学的抽象有别于其他学科的抽象，其抽象的特点在于：
（1）在数学抽象中保留了量的关系和空间形式而舍弃了其他；
（2）数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超过了其他学科中的一般抽象；(www.xing528.com)
（3）数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们相互关系的圈子之中.
数学的精确性表现在数学定义的准确性，推理和计算的逻辑严密性以及数学结论的确定无疑与无可争辩性.四色问题（任何地图上如果相邻地区都不是在一点处相邻，那么要区别地图上所有的国家所需的最少颜色数是四）尽管在1976年被美国数学家阿佩尔（K.Appel）与哈肯（W.Haken）给出了一个机器证明，但数学家还是希望能找到一个严密的逻辑推理的分析证明，这是数学家对精确性的追求.
数学的高度抽象性决定了其应用的广泛性.1959年5月，数学家华罗庚（1910—1985）在《人民日报》上发表了《大哉数学之为用》的文章，精辟地论述了数学的广泛应用：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁等各方面，无处不有数学的贡献.”
1.2.3 内容及发展演变
数学的内涵丰富，延伸出众多分支.数学按内容大致分五大学科：纯粹数学（基础数学）、应用数学、计算数学、运筹与控制、概率论与数理统计.近半个多世纪，数学科学已发展成拥有100多个学科分支的庞大体系.其核心领域是：代数学（研究数的理论），几何学（研究形的理论），分析学（沟通形与数且涉及极限运算的部分）.
在学校阶段的学习中，数学的内容除了初等数学中的算术、代数、立体几何、平面解析几何外，大部分放在数学系本科阶段的诸多课程内，如数学分析、高等代数、空间解析几何、常微分方程、复变函数、实变函数、泛函分析、近世代数、拓扑学、数论等.除此之外，大学本科阶段还要学习一些课程，这些课程不属于三大核心领域，但也是非常重要的.例如，关于随机数学、计算数学、模糊数学、最优化的理论和方法等内容的课程，这些课程的基础理论和计算的知识仍属于上述的三大核心领域.当然，还有很多更艰深、更抽象和复杂的数学知识是在数学专业的研究生阶段学习和探究.
对数学史分期问题，普遍被大家接受的分法如下：数学发源时期（公元前6世纪前）；初等数学时期（公元前6世纪至17世纪中叶）；近代数学时期（17世纪中叶至19世纪中叶）；现代数学时期（19世纪中叶至今）.
数学发展的历史悠久，大约在1万年前，人类从生产实践中就逐渐形成了“数”与“形”的概念，但真正形成数学理论还是从古希腊开始的.除去数学的发源时期，数学理论的形成和发展大致分三个阶段.表1-1将数学理论的形成和发展的时间、研究对象以及所对应的代表课程大致作一总结.
表1-1 数学理论的形成和发展的时间、研究对象及对应的代表课程
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