直线与圆锥综合问题攻略

从高考命题看,解析几何试题每年都在变换风格,考查思维的敏捷性,在改革中求发展,在探索中求创新,而直线与圆锥曲线综合问题是命题长盛不衰的热点,解析几何中的信息迁移题和应用性问题也会有所加强.

综合问题通常是一些基本问题的组合,所以在解综合题时,可通过审题确定解题的策略,把问题分解成若干个基本问题,因此掌握基本问题的求解方法是解综合题的先决条件.我们用代数的方法研究几何图形的性态,从解析几何角度看常见题型不外乎是轨迹问题(见本书第四十九讲)、对称问题(见本书第四十二讲)、最值问题与范围问题(见本书第四十四讲)、定点、定值问题(见本书第四十三讲)、弦中点问题、交点问题、弦长问题(直线与圆锥曲线的相交弦问题).本讲对上述的后3个问题略作展开.

一、例题精讲

例1　(2018年高考数学全国卷Ⅲ理科第20题)

已知斜率为k的直线l与椭圆交于A,B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0).

(1)证明：

(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且证明：等差数列，并求该数列的公差.

解题策略　本题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的性质以及等差数列的证明，涉及平面向量的知识，考查函数与方程、数形结合、转化与化归等数学思想方法,考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学运算.直线与椭圆的位置关系主要是通过韦达定理表示出相应的“几何量”、“几何关系”，因此要掌握常见的求“几何量”(如长度等)、“几何关系”(如平行、垂直等)的方法.第(1)问，可以利用直线的斜率、直线与椭圆的位置关系及中点，得到一个关于m、k的关系式，然后根据m的取值范围求解.具体操作上有多种方法，如点差法、判别式法、通过作原椭圆关于点M(1，m)的对称椭圆、利用直线的参数方程等.第(2)问，利用已知条件中的向量关系证明成等差数列，即证明若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则由条件结合中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2m，进而求m的值，如果利用椭圆第二定义求焦半径|FA|，|FB|可以避免复杂的计算，倘若从几何意义上挖掘，可知F点为A、B、P构成△ABP的重心，显然是妙思巧解.

解：(1)证法一　(设而不求、点差法)　设A(x1，y1)，B(x2，y2).

则　两式相减，并由得

由题设知于是

由题设得故

证法二　(判别式法)　设l的方程为y=kx+n，与椭圆C联立，

消去y得(4k2+3)x2+8knx+4n2-12=0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2).则由Δ>0，∴4k2+3>n2,　①

　②

则且k<0.

由①②得

证法三　(利用对称思想方法)

对原椭圆作关于M(1，m)的对称的椭圆为

两椭圆方程相减可得即为AB所在直线方程，也即为两椭圆公共弦所在直线方程.故

又点M(1，m)在椭圆C内部可得可得

证法四　(利用直线的参数方程)

设直线l的参数方程为(θ为l的倾斜角，t为参数)，代入椭圆C的方程得(3cos2θ+4sin2θ)t2+(6cosθ+8msinθ)t-9+4m2=0.设t1t2是线段两端点A，B对应的参数，M(1，m)是线段AB中点，知t1+t2=0得

点M(1，m)在椭圆C内，可得

(2)证法一　(根据题设求出点P坐标,解出m,得到直线l的方程,联立直线l与椭圆C的方程,由根与系数关系进行证明)

由题意得F(1,0),设P(x0,y0),由题设

得(x0-1,y0)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0，0).

结合(1)的结果得x0=3-(x1+x2)=1，y0=-(y1+y2)=-2m<0，

又点P在C上，从而于是同理

故即成等差数列.

设该数列的公差为d.

则,　①

将代入得k=-1.

∴l的方程为代入C的方程，并整理得

故代入①解得

∴该数列的公差为或

证法二　(利用椭圆焦半径公式)

又∵点P在椭圆上且

∴由(1)的解答可知直线l的方程为：

直线l的方程与椭圆方程联立，得

消去y化简得28x2-56x+1=0，则

由焦半径公式得而

可得

又

成等差数列.

设公差为d，则有

或

证法三　(利用三角形重心)

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0).

显然点F为△ABP的重心，易得

注意到M为AB的中点，易得进而可得k=-1，再由重心性质得可得AB所在直线方程为

以下同证法一、证法二.

例2　(2018年高考数学江苏卷第18题)

图3-22(www.xing528.com)

如图3-22所示，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点焦点圆O的直径为F1F2.

(1)求椭圆C及圆O的方程；

(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.

(i)若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

(ii)直线l与椭圆C交于A,B两点，若△OAB的面积为求直线l的方程.

解题策略　本题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系，考查分析问题能力和运算求解能力.第(1)问，利用椭圆的几何性质求圆的方程和椭圆的方程.第(2)问，(i)利用直线与圆、椭圆的位置关系建立方程求解；(ii)结合(i)，利用弦长公式、三角形的面积公式求解.第(2)问在求解时可设P点的坐标为(x0，y0)(x0>0，y0>0).也可设三角式，即从而得到各具特色的解法.

解：(1)∵椭圆C的焦点为可设椭圆C的方程为又点在椭圆C上.解得

因此，椭圆C的方程为圆O的直径为F1F2，∴其方程为x2+y2=3.

(2)解法一　(i)设直线l与圆O相切于P(x0，y0)(x0>0，y0>0).则的方程为即

由消去y得　①

∵直线l与椭圆C有且只有一个公共点，

图3-23

因此，点P的坐标为

(ii)如图3-23所示.∵三角形OAB的面积为从而

设A(x1，y1),B(x2，y2)，

由①得

即

解得舍去)，则因此P的坐标为

综上，直线l的方程为

解法二　设P点坐标为

∵原点到直线的距离

∴与圆O切于点P的直线l的方程为

由消去y得

(i)∵直线l与椭圆相切，∴Δ=-16(cos2α-2)(3cos2α-2)=0，

故

∴P点坐标为

(ii)∵直线与圆O相切，

∴△OAB中边AB上的高为

∵△OAB的面积为

设A(x1，y1),B(x2，y2)，由(i)知

|AB|

即18cos6α-153cos4α+235cos2α-100=0，

即(6cos2α-5)(cos2α-1)(3cos2α-20)=0.

故

∴直线l的方程为

解法三　设P点坐标为

则与圆O切于点P的直线l的参数方程为：

(t为参数)，即(t为参数).

代入得关于t的一元二次方程

(i)∵直线l与椭圆相切，

故

∴P点坐标为

(ii)同解法二，此处略.

二、发散训练

1. 在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=-2交x轴于点A,设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP.

(1)当点P在l上运动时,求点M的轨迹E的方程;

(2)已知T(1,-1),设H是E上动点,求|HO|+|HT|的最小值,并给出此时点H的坐标;

(3)过点T(1,-1)且不平行于y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点,求直线l1的斜率k的取值范围.

2. 设|y2-16x|=256-16|x|.

(1)记方程表示的曲线围成的封闭区域为D，试作出这个区域D；

(2)过抛物线y2=16x焦点的直线l与抛物线交于P、Q两点，若|PQ|=a,求S△OPQ；

(3)当过焦点的直线l与y2=16x在区域D内的部分相交于P、Q时，求S△OPQ的最大值.