解析几何对称问题攻略

对称思想的核心是对称变换，而“对称变换”是一种在保持一定不变性下的变换，有限次地重复施行这一变换可以使对象回复到自身.高中数学中对称问题主要有中心对称、轴对称、平面对称、多项式对称(轮换对称多项式)，奇函数的图像关于原点成中心对称，偶函数的图像关于y轴成轴对称，函数的周期性也可看成“具有对称性”，因为周期函数的图像是无限延伸的曲线，按若干个整周期平移，则可重合于自身，从而表现出整体的不变性.解析几何中圆锥曲线的图形本身就具有某些对称的特点.

对称思想是数学中的一种美学思想，圆锥曲线中的对称问题展示了数学科学的和谐美与自然美，在高考命题中常有体现，所以掌握并运用对称的思想方法解题，必定要引起重视.

点关于点对称、点关于直线对称、直线关于直线对称和曲线关于直线的对称，是解析几何中常见的数学问题，经常用到如下关于对称的重要结论：

(1)点(x0，y0)关于(m，n)对称的点为(2m-x0，2n-y0)；

(2)点(x0，y0)关于y=kx+b(k=±1)的对称点为

(3)点(x0，y0)关于Ax+By+C=0的对称点为

在研究直线关于直线对称问题时，涉及反射的重要结论：

(1)反射角等于入射角，镜线与法线均为对称轴.

(2)坐标轴为镜线时，入射光线与反射光线的斜率互为相反数.

(3)入射光线经互相垂直的镜线二次反射后反射光线与入射光线平行.

求曲线关于直线的对称曲线，一般方法为相关点法，即设出所求曲线上任一点P(x0，y0)和其关于直线的对称点P′(x，y)，利用两点关于已知直线对称建立方程组，用x、y表示出x0，y0代入曲线方程并整理，可得其对称曲线的方程.当然，求解曲线关于直线的对称问题若能利用曲线对称的几何特征，则解法往往更简便.

最后，笔者还需指出：解析几何中的对称问题与函数图像中的对称问题具有某些一致性，可以互为参照.

一、例题精讲

例1　(2017年高考数学天津卷理科第19题)

设椭圆的左焦点为F，右顶点为A，离心率为已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为

(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；

(2)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(点B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D，若△APD的面积为求直线AP的方程.

解题策略　圆锥曲线试题通常计算量大，寻求简捷、合理的运算途径以减少运算便显得特别重要，比如解题时充分利用设而不求法、根与系数的关系、弦长公式等.本题中条件涉及对称及三点共线等.第(1)问，可用待定系数法确定基本量求标准方程，由条件知从而求出a、c、p，得到椭圆和抛物线的方程；第(2)问，直线AP过x轴上的定点，故设直线AP的方程为x=my+1(m≠0)，分别求出P、Q、B、D的坐标，利用△APD的面积为求出m的值，进而得到直线AP的方程.

解：(1)设F的坐标为(-c，0)，依题意，解得于是

∴椭圆的方程为抛物线的方程为y2=4x.

(2)解法一　设直线AP的方程为x=my+1(m≠0)，与直线l的方程x=-1联立，可得点由P、Q两点关于x轴对称，得

将x=my+1与联立，消去x，整理得(3m2+4)y2+6my=0，解得由点B异于点A，可得点

由可得直线BQ的方程为

令y=0，解得故

又∵△APD的面积为故

整理得解得

∴直线AP的方程为或

解法二　设

先计算m>0的情形，由P、Q关于x轴对称，则Q(-1，-m)，而A(1，0)，

∵A、B、P三点共线，∴AP∥AB，而(www.xing528.com)

同理，由B，D，Q三点共线得

从而即

解得从而

∴直线AP的方程为：

然后，当m<0时，由椭圆的对称性可得此时直线AP的方程为：

故所求直线AP的方程为：或

例2　直线l：y=ax+1与双曲线C：3x2-y2=1相交于A，B两点.

(1)a为何值时，以AB为直径的圆过原点？

(2)是否存在这样的实数a，使A，B关于直线x-2y=0对称？若存在，求a的值；若不存在，说明理由.

解题策略　第(2)问是探索存在性问题，先假设存在，抓住轴对称问题的要点是两对称点A、B连线的斜率是对称轴斜率的负倒数，而AB的中点又在对称轴上，看所得的a值是否一致，不一致可立即下结论这样的实数a不存在，若一致还要看直线l与双曲线C在此a值下是否有两个交点，对称问题所要满足的环节都要考虑到.

解：(1)联立方程得方程组消去y得：(3-a2)x2-2ax-2=0.　①

又直线与双曲线相交于A、B两点，∴Δ>0，解得

又∵OA⊥OB，令A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2+y1y2=0.

且y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a2x1x2+a(x1+x2)+1=-x1x2，

∴x1x2(1+a2)+a(x1+x2)+1=0，　②

而由方程①知　③

将③代入②得解得a=±1，满足条件.

(2)假设这样的点A、B存在，则l：y=ax+1的斜率a=-2.

又AB中点坐标为在上，则　④

又有y1+y2=a(x1+x2)+2.　⑤

将⑤代入④，得

2a(x1+x2)+4=x1+x2，又

故解得a=6，这与a=-2矛盾，

事实上当a=6时，直线l与双曲线C无交点，故不存在这样的实数a.

二、发散训练

已知A(-1，-1)，△ABC是正三角形，B，C在双曲线xy=1(x>0)一支上.

(1)求证：B，C关于直线y=x对称；

(2)求△ABC的周长.