数列与不等式知识的交汇,是高考命题的一个热点,重要题型有:数列不等式的证明、数列中的最值问题的不等式解法、数列不等式恒成立条件下的参数范围问题、解有数列参与的不等式以及比较大小问题等.
一、例题精讲
例1 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1>1,且6Sn=(an+1)(an+2)(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足an(2bn-1)=1,并记Tn为数列{bn}的前n项和,求证:3Tn+1>log2(an+3).
解题策略 本题是数列与不等式证明的综合题,而数列不等式的证明正是高考中的一个难点,所证不等式中含有对数,利用对数运算转化为比较法证不等式(这里比差比商二者并举),当然也可以用放缩法证明,这里放缩的技巧并非唯一,当然放缩到适当,恰到好处,其实质是通过放缩“逼近”目标.
解:(1)由
解得a1=1或a1=2,由假设a1=S1>1,因此a1=2.
又由得
(an+1+an)(an+1-an-3)=0,即an+1-an-3=0或an+1=-an,
∵an>0,故an+1=-an不成立,舍去.因此an+1-an=3.
从而{an}是公差为3,首项为2的等差数列,故{an}的通项公式为an=3n-1.
(2)证法一 (比较法) 由an(2bn-1)=1可解得
从而
因此
令
则
∵(3n+3)3-(3n+5)(3n+2)2=9n+7>0,故f(n+1)>f(n).
特别地,从而3Tn+1-log2(an+3)=log2f(n)>0,即3Tn+1>log2(an+3).
证法二 (由伯努利不等式(1+c)3>1+3c放缩)
由二项式定理知,当c>0时,(1+c)3>1+3c(伯努利不等式特例)成立,由此有
3Tn+1=
=log2(3n+2)=log2(an+3).
证法三 (带分数放缩)
令
则
从而3Tn+1
=log2(3n+2)=log2(an+3).
例2 在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*),其中λ>0.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn;
(3)证明:存在k∈N*使得对任意n∈N*均成立.(www.xing528.com)
解题策略 第(1)问,由递推式求通项公式,若能将递推式转化为特殊数列的结构形式当然最好,如果通过有限项计算归纳猜想通项规律,再用数学归纳法进行证明,也是一个不错的选择;第(2)问,由数列{an}通项的特点是“等差×等比”的形式,必然可以用错位相减法求和;第(3)问,利用放缩法证明数列不等式.
为等差数列,首项为0,公差为1,故
∴数列{an}的通项公式为an=(n-1)λn+2n.
解法二 (归纳—猜想—证明)
a2=2λ+λ2+(2-λ)·2=λ2+22,
a3=λ(λ2+22)+λ3+(2-λ)·22=2λ3+23,
a4=λ(2λ3+23)+λ4+(2-λ)·23=3λ4+24,
由此可猜想出数列{an}的通项公式为an=(n-1)λn+2n.
下面用数学归纳法证明:
1当n=1时,a1=2,等式成立.
2假设当n=k时等式成立,即ak=(k-1)λk+2k,
那么ak+1=λak+λk+1+(2-λ)2k=λ(k-1)λk+λ·2k+λk+1+2k+1-λ·2k
=[(k+1)-1]λk+1+2k+1,这就是说,当n=k+1时等式也成立,
根据 12 可知,等式an=(n-1)λn+2n对任何n∈N*都成立.
(2)设Tn=λ2+2λ3+3λ4+…+(n-2)λn-1+(n-1)λn, ①
λTn=λ3+2λ4+3λ5+…+(n-2)λn+(n-1)λn+1, ②
当λ≠1时,①式减去②式,得
这时数列{an}的前n项之和
当λ=1时,这时数列{an}的前n项之和
(3)证明 通过分析,推测数列的第一项最大,下面证明:
③
由λ>0知an>0,要使③式成立,只要2an+1<(λ2+4)an(n≥2).
∵(λ2+4)an=(λ2+4)(n-1)λn+(λ2+1)2n>4λ(n-1)λn+4×2n
=4(n-1)λn+1+2n+2≥2nλn+1+2n+2=2an+1,n≥2,∴③式成立.
因此,存在k=1,使得对任意n∈N*均成立.
二、发散训练
已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
(1)证明:是等比数列,并求{an}的通项公式;
(2)证明:
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