高中数学微:数列不等式攻略

数列与不等式知识的交汇，是高考命题的一个热点，重要题型有：数列不等式的证明、数列中的最值问题的不等式解法、数列不等式恒成立条件下的参数范围问题、解有数列参与的不等式以及比较大小问题等.

一、例题精讲

例1　已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1>1，且6Sn=(an+1)(an+2)(n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{bn}满足an(2bn-1)=1，并记Tn为数列{bn}的前n项和，求证：3Tn+1>log2(an+3).

解题策略　本题是数列与不等式证明的综合题，而数列不等式的证明正是高考中的一个难点，所证不等式中含有对数，利用对数运算转化为比较法证不等式(这里比差比商二者并举)，当然也可以用放缩法证明，这里放缩的技巧并非唯一，当然放缩到适当，恰到好处，其实质是通过放缩“逼近”目标.

解：(1)由

解得a1=1或a1=2，由假设a1=S1>1，因此a1=2.

又由得

(an+1+an)(an+1-an-3)=0，即an+1-an-3=0或an+1=-an，

∵an>0,故an+1=-an不成立，舍去.因此an+1-an=3.

从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，故{an}的通项公式为an=3n-1.

(2)证法一　(比较法)　由an(2bn-1)=1可解得

从而

因此

令

则

∵(3n+3)3-(3n+5)(3n+2)2=9n+7>0，故f(n+1)>f(n).

特别地，从而3Tn+1-log2(an+3)=log2f(n)>0，即3Tn+1>log2(an+3).

证法二　(由伯努利不等式(1+c)3>1+3c放缩)

由二项式定理知，当c>0时，(1+c)3>1+3c(伯努利不等式特例)成立，由此有

3Tn+1=

=log2(3n+2)=log2(an+3).

证法三　(带分数放缩)

令

则

从而3Tn+1

=log2(3n+2)=log2(an+3).

例2　在数列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*)，其中λ>0.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{an}的前n项和Sn；

(3)证明：存在k∈N*使得对任意n∈N*均成立.(www.xing528.com)

解题策略　第(1)问，由递推式求通项公式，若能将递推式转化为特殊数列的结构形式当然最好，如果通过有限项计算归纳猜想通项规律，再用数学归纳法进行证明，也是一个不错的选择；第(2)问，由数列{an}通项的特点是“等差×等比”的形式，必然可以用错位相减法求和；第(3)问，利用放缩法证明数列不等式.

为等差数列，首项为0，公差为1，故

∴数列{an}的通项公式为an=(n-1)λn+2n.

解法二　(归纳—猜想—证明)

a2=2λ+λ2+(2-λ)·2=λ2+22，

a3=λ(λ2+22)+λ3+(2-λ)·22=2λ3+23，

a4=λ(2λ3+23)+λ4+(2-λ)·23=3λ4+24，

由此可猜想出数列{an}的通项公式为an=(n-1)λn+2n.

下面用数学归纳法证明：

1当n=1时，a1=2，等式成立.

2假设当n=k时等式成立，即ak=(k-1)λk+2k，

那么ak+1=λak+λk+1+(2-λ)2k=λ(k-1)λk+λ·2k+λk+1+2k+1-λ·2k

=[(k+1)-1]λk+1+2k+1，这就是说，当n=k+1时等式也成立，

根据 12 可知，等式an=(n-1)λn+2n对任何n∈N*都成立.

(2)设Tn=λ2+2λ3+3λ4+…+(n-2)λn-1+(n-1)λn,　①

λTn=λ3+2λ4+3λ5+…+(n-2)λn+(n-1)λn+1，　②

当λ≠1时，①式减去②式,得

这时数列{an}的前n项之和

当λ=1时，这时数列{an}的前n项之和

(3)证明　通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：

　③

由λ>0知an>0，要使③式成立，只要2an+1<(λ2+4)an(n≥2).

∵(λ2+4)an=(λ2+4)(n-1)λn+(λ2+1)2n>4λ(n-1)λn+4×2n

=4(n-1)λn+1+2n+2≥2nλn+1+2n+2=2an+1，n≥2，∴③式成立.

因此，存在k=1，使得对任意n∈N*均成立.

二、发散训练

已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1.

(1)证明：是等比数列，并求{an}的通项公式；

(2)证明：