高中数学微专题压轴题攻略-第26讲抽象函数模型及应用

对抽象函数的研究是高考中经常出现的题型，由于它通常没有给出具体的解析式，因此处理起来有一定难度，许多抽象函数问题又将函数、方程和不等式等内容综合于一题，在“抽象”中具体考查学生的逻辑推理能力、抽象思维能力与创新能力，解此类题的关键是吃透题设中给出的函数方程，并根据这个函数方程探索该函数的其他性质，常用的解题方法如下.

1.赋值法

赋值法即结合题设给出的抽象函数的性质，选取恰当的数值达到求解目的.

2.背景函数依托法

背景函数依托法即结合题设所给出的条件，找出满足模型的特殊函数——背景函数，依托此特殊函数的性质猜测出抽象函数具有的性质，再加以证明.

难点显然是如何找到背景函数，我们可以根据题设中抽象函数的性质，通过类比，可以猜想出它的背景函数是学习过的某种函数，一旦找到了这种联系，解题思路就豁然开朗了.

高中数学中出现的抽象函数的背景函数大致见下表：

由于抽象函数试题既能全面考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识，从而对学生创新精神、实践能力和核心素养的培养有着十分重要的作用，这类试题在高考中非常活跃，频频“闪亮登场”，由于立意新颖、构思精妙，常常处于压轴题的地位.

一、例题精讲

例1　设函数y=f(x)(x∈R)，当x>0时，f(x)>1，且对任意实数x1、x2满足f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)，当x1≠x2时，f(x1)≠f(x2).

(1)求f(0)的值；

(2)求证：y=f(x)在R上为单调递增函数；

(3)判断y=f(x)的奇偶性;

(4)当x1≠x2时，试比较与的大小.

解题策略　本例由题设容易发现函数y=f(x)的背景函数为f(x)=ax(a>1).从而可利用指数函数的性质指导对问题的解决,特别是对f(0)=0的排除，正确运用赋值法并紧紧抓住函数单调性和奇偶性的定义是证题或解题的关键.

解：(1)令x1=x2=x，则f(2x)=>0，令x1=x2=0，

则有f(0)=f(0)·f(0)，得f(0)=0或f(0)=1.

若f(0)=0，则有f(1)=f(0)·f(1)，∴f(1)=0，与已知矛盾，即f(0)=1.

(2)证明　由(1)得f(0)=1，令x1=-x，x2=x(x>0)，

则f(-x+x)=f(-x)·f(x)=1，故又x1<x2，得x2-x1>0.

因为当x>0时，f(x)>1，所以f(x2-x1)>1，从而

故f(x2)>f(x1)，即f(x)是增函数.

(3)∵f(0)=1，∴f(x)不是奇函数；

若f(x)是偶函数，即有f(-x)=f(x)，f(0)=f(x)f(-x)==1，

f(x)=1或-1(舍去)，这与“当x>1时，f(x)>1”相矛盾.因此，f(x)是非奇非偶函数.(www.xing528.com)

(4)同理，有

而

又故前者大于后者.

例2　已知函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：

①当x1，x2是定义域中的数时，有

②f(a)=-1(a>0，a是定义域中的一个数)；

③当0<x<2a时，f(x)<0.

试问：(1)f(x)的奇偶性如何?说明理由；

(2)在(0，4a)上，f(x)的单调性如何？说明理由.

解题策略　由条件①可知本题以两角差的正切公式的负倒数作为初等函数的模型,由条件②③进一步证实所找到的三角函数模型是正确的.在解题中以此可得到启示，即由题设知f(x)是即y=-cotx的抽象函数，从而由y=-cotx及题设条件猜想，f(x)是奇函数且在(0，a)上是增函数(这里把a看成进行猜想)，显然有且在半周期内f(x)<0，另一半周期内f(x)>0.

解：(1)由已知条件可得是奇函数.

(2)设0<x1<x2<2a，则0<x2-x1<2a，由题知f(x1)、f(x2)、f(x2-x1)均小于零.

从而由已知式可得f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(0，2a)上是增函数.

设2a<x<4a，则0<x-2a<2a.

即在(2a，4a)上f(x)>0.

设2a<x1<x2<4a，则0<x2-x1<2a，从而知f(x1)、f(x2)均大于零，f(x2-x1)<0.

∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，亦即f(x)在(2a，4a)上也是增函数.

综上，f(x)在(0，4a)上是增函数.

二、发散训练

设f(x)是定义在R上不恒为0的函数，且对任意的a，b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a).

(1)求f(0)、f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性，并证明；

(3)若求数列{un}的前n项和Sn.