李正兴高中数学微专题：二次函数背景下的综合题

二次函数是初中代数的基本内容之一，但是在高考中，以二次函数为背景的综合题也频繁出现，这是因为它虽然简单却具有丰富的内涵和外延，我们可以以它为素材研究函数的奇偶性、单调性、最值等函数的重要性质，可以建立起二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的有机联系，讨论方程根的分布、含参数不等式恒成立等问题，作为其图像抛物线可以与其他平面曲线在同一直角平面内讨论相互之间的关系，二次函数与其他初等函数的综合可以编制出层出不穷、灵活多变的高考压轴题.

函数与方程、不等式是高中数学中的一个重要的知识交汇点，题型精彩纷呈，数学思维极其活跃，特别是3个二次之间的依存关系及其转化，函数思想与方程理论必然会迸发出灿烂的火花.

一、例题精讲

例1　(2015年高考数学浙江卷文科第20题)

已知函数f(x)=x2+ax+b(a，b∈R).

(1)当时，求函数f(x)在[-1，1]上的最小值g(a)的表达式；

(2)已知函数f(x)在[-1，1]上存在零点，0≤b-2a≤1，求b的取值范围.

解题策略　本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等分析问题和解决问题的能力，难点在第(2)问，是与二次函数零点相关的参数范围问题，有多种解题策略，比如运用方程根与系数的关系转化为解不等式求b的取值范围；比如双变量转化为单变量，转化为求函数值域问题；比如参变分离法求解；还可运用数形结合的方法.

解：(1)当时，故对称轴为直线

当a≤-2时，

当-2<a≤2时，

当a>2时，

综上，

(2)解法一　(韦达定理结合不等式的基本性质)

设s，t为方程f(x)=0的解，且-1≤t≤1，则

由于0≤b-2a≤1，因此

当0≤t≤1时，

由和可得

当-1≤t<0时，

由和可得-3≤b<0.

故b的取值范围是

解法二　(利用等价转化将双参数的取值范围转化为单变量函数与单参数的值域问题)

当x=0时，b=0；

当x≠0时，存在x0∈[-1，1]成立.

当x0∈[-1，0)时，当x0∈(0，1]时，令

当x∈[-1，0)时，则h(x)∈[-2，0)，g(x)∈[-3，0)，即-3≤b<0；

当x∈(0，1]时，则即

综上，

解法三　(利用函数零点表示参数，以值代参，进行放缩，构造不等关系求参数b的取值范围)

设α是函数f(x)的零点，则α2+aα+b=0，

令t=α+2∈[1，3]，

即

当t=2时，b=0，又∵f(-2)=-2a+b+4∈[4，5]，

当t∈(2，3]时，

当t∈[1，2)时，

综上，(www.xing528.com)

解法四　(数形结合法)

图3-5

函数f(x)=x2+ax+b在区间[-1，1]上至少存在一个零点等价于函数h(x)=ax+b的图像与函数g(x)=-x2的图像在区间[-1，1]上至少有一个交点.

又∵b=h(0)，只需求函数h(0)的取值范围，即直线y=ax+b在y轴上截距的取值范围，如图3-5所示，

例2　已知f(x)=|x2-1|+x2+kx.

(1)若k=2，求方程f(x)=0的解；

(2)若关于x的方程f(x)=0在(0，2)上有两个解x1，x2，求k的取值范围；并证明：

解题策略　本题的难点是第(2)问，要求运用函数的性质求k的取值范围并证明不等式，所给函数既含绝对值符号又含参数，实质是分段函数.

关于x的方程f(x)=0在(0，2)上有两个解x1，x2的问题必定要考虑根在分段函数的哪一个更小的范围内，下面提供的解法一是运用函数思想转化为不等式逐一讨论，证不等式是把根求出(用k表示)代入，再运用已求出k的范围进行推理证明；解法二结合函数的单调性解，证明过程则显得简捷；解法三通过数形结合的方法，把方程有解的问题转化为两函数图像有公共点的问题，而图像一动一静，使方程解的情况一目了然，显然是妙思巧解.

解：(1)当k=2时，f(x)=|x2-1|+x2+2x=0.

1当x2-1≥0即x≥1或x≤-1时，方程化为2x2+2x-1=0，解得

此根舍去，因此

2当x2-1<0，即-1<x<1时，方程化为2x+1=0，解得

由 12 可得，当k=2时，方程f(x)=0的解是或

(2)解法一　当0<x<2时，f(x)有两解，又

因f(x)=0在(0，2)上有两解有两种情况：可以在(0，1)上有一解，在[1，2)上有一解；或在[1，2)上有两解.

1显然当x=1时，不满足题意，当一解在(0，1)，另一解在(1，2)时需满足解得

2当两解均在[1，2)上时，对于函数f(x)=2x2+kx-1，有

解得k∈∅，综上可得

证明　解方程得故即需证即又原不等式成立，即有

解法二　不妨设

∴若1<x1<x2<2，则故不合题意；

因此有0<x1≤1<x2<2，由f(x1)=0得

由f(x2)=0得因此当时，方程f(x)=0在(0，2)上有两个解.

消去k得

即

图3-6

解法三　方程f(x)=|x2-1|+x2+kx=0在(0，2)上有两个解在(0，2)上有两个解在(0，2)上有两个解x1，x2.如图3-6所示作出函数y=g(x)的图像，由图像可知：当且仅当即时，-k=g(x)在(0，2)上有两个解x1，x2，

故当时，方程f(x)=0在(0，2)上有两个解x1，x2，且

二、发散训练

已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a≠0，b<1)在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，设

(1)求a、b的值；

(2)不等式f(2x)-k·2x≥0在[-1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；

(3)方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围.