高中数学微专题：函数图像变换与性质探究

二次函数、幂函数、指数函数与对数函数是4类基本的初等函数，它们的定义、图像和性质内容丰富、应用广泛，而函数与方程的思想方法则是其内在的核心，掌握函数的性质和应用，关键一是准确深刻理解函数的有关概念，二是把握数形结合的特征和方法，三是认识函数思想的实质，强化应用意识，重视渗透核心素养和拓展创新.

其中识别函数图像对函数性质的理解至关重要，一般可以从以下几方面入手.

(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势.

(3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性.

(4)从函数的周期性，判断图像的循环往复.

而解决函数图像应用问题的常用方法有以下几种.

(1)定性分析法：通过对问题进行定性分析，从而得出图像上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题.

(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题.

(3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.

函数图像形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果的重要工具，所以我们不但要熟练掌握准确地画出各类函数的图像，还要掌握函数图像的3种基本变换，即平移变换、对称变换、伸缩变换，利用图像法解函数与导数型压轴题非常重要！

一、例题精讲

例1　(1)已知函数f(x)=logax+x-b(a>0且a≠1)，当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n+1)，n∈N*，则n=________.

(2)若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2(x-1)=5，则x1+x2=(　　).

(3)已知函数函数g(x)=b-f(2-x)，其中b∈R，若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是(　　).

(4)已知以T=4为周期的函数其中m>0，若方程3f(x)=x恰有5个实数解，则m的取值范围为(　　).

解题策略　函数的图像是函数关系的一种表示，它从“形”的方面刻画函数的变化规律，通过函数图像，可以形象地反映函数的性质.第(1)问，可以运用函数零点存在的判定方法和对数函数单调性及简单不等式性质来判断，运用图像法则更为清晰；第(2)问，可转化为函数y=2x与其反函数y=log2x的图像关于直线y=x对称，这两个函数与同一直线的交点的横坐标是相应方程的根，结合图像易得结论；第(3)问，函数的零点常常转化为两函数图像交点问题，其中准确作图是正确解题的基础；第(4)问，同样转化为两函数图像的交点个数问题.应当指出的是：“形”的特征给我们解题提供了直观的表达，而解答则离不开“数”的运算，两者结合体现了一种“强劲”的解题能力和呈现“完美无缺”的解答过程.

解：(1)解法一　(直接运用对数函数性质判断)　∵2<a<3<b<4，当x=2时，f(2)=loga2+2-b<0；当x=3时，f(3)=loga3+3-b>0.

∴f(x)的零点x0在区间(2，3)内，∴n=2.

图3-2

解法二　(图像法)　如图3-2所示，在同一坐标系内，作函数y=logax和y=b-x的图像，观察交点位置，因为2<a<3，所以x>1时y=logax的图像夹在y=log2x和y=log3x图像之间，因为3<b<4，所以y=b-x的图像夹在直线y=3-x和y=4-x之间，又因为y=log3x与y=4-x相交于点(3，1)，y=log2x与y=3-x相交于点(2，1)，因此x0∈(2，3)，即n=2.

(2)依题意，

∵y1=2x与y2=log2x的图像关于直线y=x对称，

即故选C.

(3)由得

即

图3-3

又y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b，∴y=f(x)-g(x)恰有4个零点等价于方程f(x)+f(2-x)-b=0有4个不同的解，即函数y=b与函数y=f(x)+f(2-x)的图像有4个公共点，如图3-3所示，可知<b<2，故选D.

(4)由于方程3f(x)=x可化为构造函数和它们恰有5个交点，

y1的周期T=4，y1实质是分段函数.

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图3-4

当-1<x≤1时函数为椭圆上半部分；当1<x≤2时，为y1=x-1；当2<x≤3时，为为一条过原点的直线，如图3-4所示.要使它们符合题意，需使与曲线C2有两个交点，与C3没有交点.由此可知

得

得

由得

得

故故选B.

例2　定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.已知函数

(1)当a=1时，求函数f(x)在(-∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(-∞，0)上是否为有界函数？并请说明理由；

(2)若函数f(x)在[0，+∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；

(3)若m>0，函数g(x)在[0，1]上的上界是T(m)，求T(m)的取值范围.

解题策略　本题首先给出了有界函数的定义，要求在这一新概念下研究两个给定函数的有界性，关于有界性的知识在高中阶段数学学习中，在学习正弦、余弦函数时出现过，所以这里提出的是更为一般的研究课题，解决这个课题的工具仍然是我们已学的函数性质.设想一下，一个函数若有最大值，这个函数必有上界；一个函数若有最小值，这个函数必有下界，则问题可归结为求函数的最值问题，而研究函数的最值问题势必离不开对函数单调性的研究，这样一分析，解题的途径就明朗了.所以对函数四大性质(奇偶性、单调性、周期性、最值)理解的深度够不够去探讨一些延伸的课题实在是太重要了，不知读者是否同意我的观点呢？

解：(1)当a=1时，

∵f(x)在(-∞，0)上递减，∴f(x)>f(0)=3，即f(x)在(-∞，0)上的值域为(3，+∞)，故不存在常数M>0，使|f(x)|≤M成立.

∴函数f(x)在(-∞，0)上不是有界函数.

(2)由题意知|f(x)|≤3在[0，+∞)上恒成立.

在[0，+∞)上恒成立.

设由x∈[0，+∞)得t≥1.

设

∴h(t)在[1，+∞)上递减，p(t)在[1，+∞)上递增.

h(t)在[1，+∞)上的最大值为h(1)=-5，p(t)在[1，+∞)上的最小值为p(1)=1，

∴实数a的取值范围为[-5，1].

(3)在[0，1]上递减.

∴g(1)≤g(x)≤g(0)，即

1当即时，此时

2当即时，此时

综上所述，当时，T(m)的取值范围是当时，T(m)的取值范围是

二、发散训练

1. 设a>0，函数

(1)当时，求函数f(x)的最小值；

(2)证明：当时，函数f(x)有零点.

2. 已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数，又知y=f(x)在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为-5.

(1)证明：f(1)+f(4)=0；

(2)试求y=f(x)，x∈[1，4]的解析式；

(3)试求y=f(x)在[4，9]上的解析式.