函数值域、极值、最值问题解析

求函数的值域或最值这类数学问题的技巧性较强，且常常可以一题多解，正如数学教育家G·波利亚所言：“智者通权达变”.常用的方法主要有以下几种.

(1)配方法：适用于二次函数或可化为二次函数型的函数，要特别注意自变量的范围.

(2)判别式法：适用于可化为关于x的二次方程的函数y=f(x)，由Δ≥0，求出y的取值范围，要检验函数的这个最值在定义域内是否有相应的x值.

(3)基本不等式法：利用基本不等式求函数值域或极值时，一定要注意满足“一正二定三相等”的原则.

(4)换元法：根据函数解析式的特点常用三角换元、整体代换、和差代换等，用换元法求值域或最值时要注意新变量的取值范围.

(5)数形结合法：从理解函数的几何意义着手，看能否与距离、斜率等相通.

(6)函数单调性法：利用函数在相应区间上的单调性，由于值域或最值是对函数的总体而言，若需对问题分段讨论，最后必须加以整合.

(7)导数法：设y=f(x)的导数为f′(x)，由f′(x)=0可求得极值点坐标，若函数定义域为[a，b]，则最值必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值.

在实际数学问题中，求函数的最值或值域，提问的角度不同，解答方式也会有所差异，求函数最值时还要注意函数的定义域，若定义域为开区间，则在区间端点不可能出现最值.

函数的值域、极值、最值问题在压轴题中常常是其中的一道小题，解好这道小题常常关系到这道大题的全局.

一、例题精讲

例1　(1)求下列函数的值域：

(2)设函数的定义域是[n，n+1](n∈N)，问f(x)的值域中有多少个整数？

(3)已知函数的值域是求m的范围；

(4)已知函数的定义域为R，值域为[0，2]，求m、n的值.

解题策略　第(1)问，1 可运用换元法或单调性法，前法要注意新元的取值范围，后法要抓住定义域；2 可运用函数的有界性法或数形结合法.第(2)问，考查函数在定义域上的单调性.第(3)问，通过求函数的最值确定参数的范围.第(4)问，函数转化为方程，运用方程有实根，判别式大于等于零，再结合韦达定理求得参数的值.

解：(1)1解法一　(换元法)　设则

于是

显然函数g(t)在[0，+∞)上是单调递减函数，

因此原函数的值域是

解法二　(单调性法)　函数的定义域是当自变量x增大时，2x-1增大，减小.增大，因此函数在其定义域上是一个单调递增函数，∴当时，函数取得最大值故原函数的值域是

2解法一　(函数的有界性法)　原函数可化为sinx-ycosx=2y，

令且则易知x∈R.

平方得即函数的值域为

解法二　(数形结合法)

令易知u2+v2=1.

图3-1

∴可看作圆u2+v2=1上任意一点P(u，v)与点A(-2，0)连线的斜率，如图3-1所示.可得kAP2≤kAP≤kAP1，即

(2)的图像是以为顶点，开口向上的抛物线，而自然数的值域是[f(n)，f(n+1)]，即

其中最小的整数是n2+n+1，最大的整数是n2+3n+2，

共有(n2+3n+2)-(n2+n+1)+1=2n+2个整数.

(3)由题设知，当x∈[m，1]时，g(x)=x2+x+1的值域是

(4)令则(u-m)x2-8x+(u-n)=0.

∵x∈R，且设u-m≠0，∴Δ=(-8)2-4(u-m)(u-n)≥0，

即u2-(m+n)u+(mn-16)≤0.

由1≤u≤9知，关于u的一元二次方程u2-(m+n)u+(mn-16)=0的两根为1和9，由韦达定理，得解得m=n=5.

若u-m=0，即u=m时，对应f(x)=log3m的值域不为[0，2]，不符合条件，∴m=n=5为所求.

例2　(1)已知y2=4a(x-a)(a>0)，且当x≥a时，S=(x-3)2+y2的最小值为4，求参数a的值；

(2)函数的最大值是________.

解题策略　第(1)问，把条件代入二元函数，消元后得到S关于x的一元函数，a为参数，可以发现抛物线的对称轴和区间都在变动，而开口方向是确定的，所以必须讨论对称轴与区间的相对位置得到最小值，根据最小值为a得到关于a的方程，解方程得到参数a的值；第(2)问通过发散思维可以有多种解法.

解：(1)将y2=4a(x-a)(a>0)代入S的表达式，得S=(x-3)2+4a(x-a).(https://www.xing528.com)

则S=[x-(3-2a)]2+12a-8a2，S是x的二次函数，其定义域是x∈[a，+∞)，对称轴是x=3-2a，顶点坐标是(3-2a，12a-8a2)，图像开口向上.

若3-2a≥a，即0<a≤1时，当x=3-2a时，S的最小值为12a-8a2=4，得

若3-2a<a，即a>1时，当x=a时，S的最小值为[a-(3-2a)]2+12a-8a2=4，此时a=5.

综上讨论，参数a的值是a=1或或a=5.

(2)解法一　(导数法)

令y′=0，得记

解法二　(三角换元法)

∴0≤x-1≤3，则记

其中当时，y有最大值

解法三　(构造几何图形)

设

故

∴目标直线与圆u2+v2=3在第一象限的图形相切时取得最大值，由得即为所求的最大值.

解法四　(构造平面向量)

∴构造平面向量

则

当且仅当与同向时取等号.

当且仅当即时，等号成立.

解法五　(构造对偶式，运用单调性)

记

∵u在[1，4]上单调递减，则故0≤u2≤27.

又

故y2=33-u2，∵6≤33-u2≤33，故

故y有最大值

解法六　(柯西不等式)由柯西不等式有

当且仅当即时，等号成立，

例3　求的最值，并求出相应的x值.

解题策略　解题应崇尚常规思路，切忌“炫技”.本例首先要化简，化简后可能会出现sinx+cosx的形式，通常采用“换元法”转化为代数函数在新元的取值范围内求最值，如果所得函数解析式可以运用均值不等式求最值，则必须符合“一正二定三相等”原则，并落实分类与整合的思想方法.

解：(换元且利用均值不等式)

y

　①

设

代入①式，当t=0时，当t≠0时，

当时，即t=1，也即或时，ymax=2;

当时，即t=-1，也即

x=2kπ+π或时，ymin=-2.

二、发散训练

已知函数设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′(x)为f(x)的导函数，满足f′(2-x)=f′(x).

(1)设求函数g(x)在[0，m]上的最大值；

(2)设h(x)=lnf′(x)，若对一切x∈[0，1]，不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立，求实数t的取值范围.