曲线系也叫曲线簇或曲线束，是指具有某种性质的曲线的集合，曲线系方程是指含有参数的二元方程，当参数在其取值范围内变化时分别对应的所有这些曲线，其中最简单的是具有某种性质的直线方程和圆系方程，介绍如下.
1.直线系方程
(1)与直线l：Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+λ=0(λ为参数).
(2)与直线l：Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+λ=0(λ为参数).
(3)过直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(不含l2，λ为参数).
2.圆系方程
(1)过圆O：x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数).
(2)过圆O1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆O2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(不包括圆O2，λ为参数).
当λ=-1时，为一条直线(根轴，即过两圆交点的直线).
(3)若(x0，y0)表示圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0上任意一点，则曲线系方程：(x2+y2+Dx+Ey+F)+λ[(x-x0)2+(y-y0)2]=0(λ为参数)表示与C相切于点(x0，y0)的所有圆.
巧用直线系、圆系方程解题的关键是由题设条件确定参数的值，从而求出需求的结果.
一、例题精讲
例1 (1)经过点(3，2)的一条动直线分别交x轴、y轴于M、N两点，设Q为MN的中点，联结OQ并延长到P,使|OP|=2|OQ|,求点P的轨迹方程；
(2)求过直线l1：5x+2y-3=0和l2：3x-5y-8=0的交点P，且与直线x+4y-7=0垂直的直线l的方程.
解题策略 第(1)问，可以创造性地构造两条过定点的直线，再利用直线系方程求解；第(2)问，求过两直线交点且与另一直线垂直的直线方程，常规解法是通过联立方程组求其交点，再由与另一直线垂直确定所求直线的斜率，利用点斜式得直线方程.若运用直线系求解，则更简洁.通过垂直的直线系方程来解，需要解方程组求交点，若利用过两直线交点的直线系方程，可以避免解方程组的过程.
解：(1)∵点(3，2)为两条直线x-3=0和y-2=0的交点，则过点(3，2)的直线系方程为x-3+λ(y-2)=0(不包括直线y-2=0)，于是得M(3+2λ,0)，
设点Q、P的坐标分别为(x0，y0)和(x，y)，则
∵点Q为MN的中点，由中点坐标公式得
消去参数λ得点P的轨迹方程为
即xy-2x-3y=0(x≠3).
(2)解法一 (常规解法) 由
得l1与l2的交点P的坐标为(1，-1).
∵直线x+4y-7=0的斜率为
直线l的斜率为4.
因此满足条件的直线l的方程为：y+1=4(x-1)，即4x-y-5=0.
解法二 (利用垂直直线系解) ∵直线l垂直于直线x+4y-7=0，
∴可设直线l的方程为4x-y+c=0.
∵l1与l2的交点为P(1，-1)，∴4×1-(-1)+c=0，从而c=-5.
∴直线l的方程为4x-y-5=0.
解法三 (利用过两直线交点的直线系解) 由于直线l过l1与l2的交点，
∴可设直线l的方程为(5x+2y-3)+λ(3x-5y-8)=0，即(5+3λ)x+(2-5λ)y-3-8λ=0.
∵l与直线x+4y-7=0垂直，
从而
∴直线l的方程为4x-y-5=0.
例2 (1)求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点，且面积最小的圆的方程；
(2)求过两圆与x2+y2+6x-4=0与x2+y2+6y-28=0的交点的直线方程和圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程；
(3)求圆心在直线x+y=0上，且过两圆x2+y2-2x+10y-24=0，x2+y2+2x+2y-8=0交点的圆的方程；
(4)求与圆x2+y2-4x-8y+15=0切于点A(3，6)，且过点B(5，6)的圆的方程.
解题策略 若所求的圆过一直线与一圆的交点或过两已知圆的交点，当然可以运用直接法求交点，再设所求的圆方程为标准方程或一般方程，把交点坐标代入且由另一个条件(圆方程的确定需要3个条件)得方程组解之求a、b、r或D、E、F，但运算量肯定比较大，若巧用圆系方程解题则方便许多.第(4)问，直接套用与圆相切于一点的圆系方程，是个好方法.
解：(1)解法一 (常规解法) 由已知条件，所求圆一定是以直线2x+y+4=0被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦为直径的圆.
故由方程组
解得直径的两端点分别为
线段PQ的中点为
即所求圆的圆心，
则半径
∴所求圆的方程为
解法二 (利用圆系方程解) 过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点的圆系方程可设为x2+y2+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0(λ∈R),
即
圆的半径为
故当
时对应圆的半径最小，且最小半径为
∴所求圆的方程为
(2)(利用圆系方程解) 过两圆交点的圆系方程为：
x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0. ①
令λ=-1即可得x-y+4=0，此即为公共弦所在直线的方程.
把①式整理得(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-4-28λ=0.
∴圆心的坐标为
而圆心在直线x-y-4=0上，
代入圆系方程得x2+y2-x+7y-32=0.(www.xing528.com)
(3)解法一 (常规解法：利用圆心到两交点的距离相等求圆心)
将两圆的方程联立得方程组
解这个方程组求得两圆的交点坐标A(-4,0)，B(0,2)，
∵所求圆心在直线x+y=0上，故设所求圆心坐标为(a,b),a+b=0,b=-a,
则它到两交点(-4,0)和(0,2)的距离相等，故有
∴a=-3，b=3，从而圆心坐标是(-3,3).
又
故所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=10.
解法二 (用圆系方程解) 设所求圆的方程为
x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1)，
即
可知圆心坐标为
∵圆心在直线x+y=0上，
解得λ=-2.
将λ=-2代入所设方程并化简，得圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.
(4)设与圆x2+y2-4x-8y+15=0切于点A(3，6)的圆系方程为
x2+y2-4x-8y+15+λ[(x-3)2+(y-6)2]=0.
以点B(5，6)代入，求得λ=-2.故有x2+y2-4x-8y+15-2(x2-6x+9+y2-12y+36)=0.
化简即得所求圆的方程为x2+y2-8x-16y+75=0.
例3 (1)判断方程x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0(k为参数，k≠-1)表示何种曲线？找出通过定点的坐标；
(2)直线系A：(x-3)cosα+ysinα=2，直线系A中能组成正三角形的面积等于______________.
解题策略 第(1)问，所给的方程含有参数k，k在变动时表示不同的曲线，但这些曲线的规律是什么？这就是本题探索的内容.通常采用配方法化为圆的标准方程形式，看一看圆心是怎样变化的？半径又是怎样变化的？本题反映出圆系方程的多样性，并非只有本讲前面所讲的3种类型；第(2)问，告诉我们的则是直线系方程的多样性，直线系A：(x-3)cosα+ysinα=2，当参变量α取不同的值时可以得到一系列不同的直线，但这些直线之间内在必有联系，这究竟是一个怎样的直线系？值得深入探究，探究明白了，才能使本题获解.
解：(1)将原方程整理得(x+k)2+[y+(2k+5)]2-5(k+1)2=0，
即
∴方程表示圆心在(-k，-(2k+5))即在直线y=2x-5上，半径为
的圆系.
将原方程整理为关于k的方程：x2+y2+10y+20+k(2x+4y+10)=0，可见此圆系也为过圆x2+y2+10y+20=0与直线2x+4y+10=0交点的圆系，其交点即为所求的定点.
由
解得
表明圆系过定点M(1,-3).
实际上，2x+4y+10=0是圆x2+y2+10y+20=0的切线，M(1,-3)为切点，可见圆系中的圆的圆心在直线y=2x-5上移动，半径为
也在变动，但都过M(1,-3)这一点.
(2)直线系A的方程(x-3)cosα+ysinα=2可变形为
即
而
即(x-3)2+y2≥4.
其几何意义为圆(x-3)2+y2=4外的点的集合，即直线系A：(x-3)cosα+ysinα=2是圆(x-3)2+y2=4的切线的包络，也即是圆(x-3)2+y2=4上所有点的切线的集合，如图2-1所示.为了解决本题，采用以退为进的策略，即把圆心平移到原点.
图2-1
联想到过圆x2+y2=r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x+y0y=r2，而圆x2+y2=r2的参数形式为
令
则以P(x0，y0)为切点的切线方程为x(rcosα)+y(rsinα)=r2,即xcosα+ysinα=r.
图2-2
由圆心(0,0)到切线xcosα+ysinα=r的距离等于半径，有
即sin2α+cos2α=1.
故当α∈[0,2π)时,直线系xcosα+ysinα=r是圆x2+y2=r2上的所有点的切线方程系,也即是圆的包络线.
显而易见,所有直线系中的直线,构成的正三角形有无数个,但是面积的值只有两个.
回到原题,如取r=2(如图2-2所示)，设直线AB的方程为
圆心到直线的距离等于半径.
则
将圆x2+y2=4向右平移3个单位即为(x-3)2+y2=4.不改变正三角形的面积，∴直线系A中组成正三角形的面积为
或
二、发散训练
1.(1)求经过两直线2x-3y=1，3x+2y=2的交点，且平行于直线y+3x=0的直线方程；
(2)求经过两圆x2+y2-x+y-2=0与x2+y2=5的交点，且圆心在直线3x+4y-1=0上的圆的方程.
2.(1)在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，在CD上取一点E,BE与AC相交于F，延长DF交BC于G.求证：∠GAC=∠EAC;
(2)已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0，问：是否存在斜率为1的直线l,使直线l被圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
