高中数学微专题笔记：以点带面、直剖核心

时间：2023-07-25 理论教育版权反馈

【摘要】：一道高考数学压轴题通常涉及多个知识点，需要调动多种解题方法联合作战，所以我们不仅要对每个知识点理解透彻，而且要打通知识点之间的连接，构建知识网络，把点拓展成线，扩充为面，许多压轴题都是在多种知识的交汇处命制.如果你对此没有充分的认识，你就调动不了多个知识为你所用.光能调动知识还不足以使问题顺利解决，还需要精准的解题策略指引.按照G·波利亚的解题理论，面对题目，在弄清问题、拟定计划之后，应当进入实现

高中数学微专题笔记：以点带面、直剖核心

一道高考数学压轴题通常涉及多个知识点，需要调动多种解题方法联合作战，所以我们不仅要对每个知识点理解透彻，而且要打通知识点之间的连接，构建知识网络，把点拓展成线，扩充为面，许多压轴题都是在多种知识的交汇处命制.如果你对此没有充分的认识，你就调动不了多个知识为你所用.光能调动知识还不足以使问题顺利解决，还需要精准的解题策略指引.按照G·波利亚的解题理论，面对题目，在弄清问题、拟定计划之后，应当进入实现计划与回顾反思阶段.若你的解题计划是完善的，实现计划往往是“例行公事”，但事实上任何计划不可能100%的完善，难免需要作出少量的修改.在实现计划的过程中一般需要作一些机械性的计算和推理，如果在一个细节上出了问题，还得推倒重来，所以在实现计划的过程中关注细节非常重要.细节决定成败，这种例子在数学解题中是很多的.

题目是解好了，解答是否完备呢？这也需要解题者回顾反思.G·波利亚指出：“通过回顾完整的答案、重新斟酌、审查结果及导出结果的途径，他们能够巩固知识，并培养他们的解题能力.”讲的便是“解后思”，即回顾反思的重要性.在完成解题过程之后，有时候感到很满意，有时候也会感觉到不够满意，似乎使用的解题方法是笨办法，解题步骤太烦琐，明明可以有一种较为简捷的解法，当时没有想到，没有做到直剖核心，快速中的，等等.又或者，你的解题方法完全正确，没有更快捷的解法了，然而解题过程中有些地方走了弯路，书写不够科学规范，有几步是多余的，删除多余的可以更完美.正如G·波利亚所说，回顾反思是“领会方法的最佳时机”“当读者完成了任务，而且他的体验在头脑中还是新鲜的时候，去回顾他所做的一切，可能有利于探究他刚才克服困难的实质，他可以对自己提出许多有用的问题：‘关键在哪里？重要的困难是什么？什么地方我可以完成得更好些？我为什么没有觉察到这一点？要看出这些我必须具备哪些知识?应该从什么角度去考虑？这里有没有值得学习的诀窍可供下次遇到类似问题时应用？’所有这些问题都提得不错，而且还有许多别的问题——但最好的问题是自然而然地浮现在你脑海里的问题.”

坚持回顾反思，可以使你通过解决一道题达到能顺利解决一批题的能力，这叫作举一反三甚至举一反十.

坚持回顾反思，可以养成一种敏锐的“题感”，碰到众多的同类问题，脑海里顿时思路涌动，解题时，迅速抓住关键，单刀直入，立即深入问题的核心，解题高手就是在不断地回顾反思中炼成的.

以点带面、直剖核心，这种解题真功夫知识层面的梳理贯通需要解题战略战术的引领，需要数学思想的引领，需要发散思维品质的提升.G·波利亚说：“解答一个题目的主要成就在于构思一个解题方案.”我认为G·波利亚的说法可作这样的改变，即“解答一个题目尝试构思若干个解题的方案”，如何构思解题方案呢？由于看同一个问题的角度可以不同，脑海里涌现出来的相关知识点也会不同，而知识之间常常是交错连接，互相渗透，于是各种思路就会涌现出来，一题多解也就产生了，所以学生在复习的过程中首先要把知识点梳理清楚，构建知识网络图，然后逐步学会从不同的角度看待同一个问题，寻求解决问题的多种途径，尝试采用若干不同的解法，再进行比较研究.当然各种解法或简捷或繁杂、或直接或曲折，要找出最为简明的解法，当然也有可能一个问题的不同解法各有妙处、自成体系、难说谁优谁劣.总而言之，善于发散思维，掌握一题多解是攻克压轴题的实战演习，也是解题能力的升华.

福建师范大学数学教授卢正勇先生在“怎样提高解题能力”一文中提出的解题程序用以下的框图表示，完全可以与G·波利亚的怎样解题四部曲(四大环节)对照起来看，两者的内在是完全一致的.

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一、例题精讲

例1　在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为________.

解题策略　本题是2018年高考数学江苏卷第13题，是一道解三角形的题目，虽然仅是一道小题，却包含极其丰富的内容，要求三角形边长组成的代数式4a+c的最小值，关键是如何构建4a+c的关系式使之可以用最为常见的解题方法求最小值，这里可以调动众多的知识实现这一目标：比如可以抓住角平分线，利用面积关系求a与c的关系式代入4a+c能利用基本不等式求解;比如由三角形内角平分线的向量关系得a、c的另一关系式；比如运用解析法抓住A、D、C三点共线，kAD=kCD即得a、c的关系式；比如根据内角平分线定理借助平面几何知识求解；比如抓住△ABD、△BCD和△ABC利用正弦定理得a与c的另一个关系式，等等.更为简单的是构造图形获得妙思巧解.一道小题可以联想到与之有关联的众多的知识点和相应的解题方法，是以点带面的绝妙好题.当然在最后归结为应用基本不等式求解最值时，要注意对条件“一正、二定、三相等”进行检验，尤其是等号成立的条件.

解法一　(利用面积关系)∵S△ABC=S△ABD+S△CBD，

即

当且仅当即时取等号，(4a+c)min=9.

解法二　(利用向量关系)由三角形内角平分线得向量式

即(定值).

当且仅当4(a-1)=c-1，即时取等号，(4a+c)min=9.

解法三　(利用三点共线斜率相等)如图1-22所示，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则有

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图1-22

∵A、D、C三点共线，则kAD=kCD，

即 width=149,height=73,dpi=110

则有下同解法一.

解法四　(利用内角平分线性质定理)在△BDC中，由余弦定理得，同理

根据内角平分线性质定理知即 width=117,height=44,dpi=110 两边平方，并利用比例性质整理得(a-c)(a+c-ac)=0.

当a=c时，可解得a=c=2,4a+c=10；

当a+c=ac时，下同解法一.

解法五　(利用正弦定理)在△ABD与△BCD中，由正弦定理得

在△ABC中，由正弦定理得

由正弦定理得即ac=a+c，也即下同解法一.

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图1-23

解法六　(构造图形，利用相似三角形)如图1-23所示，作AE∥BC，交BD的延长线于点E.易得△ABE为正三角形，则AE=c，DE=c-1.

由△ADE∽△CDB，得即

从而a+c=ac，即下同解法一.

例2　已知椭圆的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k<0)的直线交E于A、M两点，点N在E上，MA⊥NA.

(1)当t=4,|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；

(2)当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围.

解题策略　解析几何试题一般计算量大，对学生运算能力要求较高.寻求简捷、合理的解题途径显得尤为重要.因此，在解答二次曲线的综合问题时，应根据曲线的几何特征，将所求问题代数化，再结合其他知识解答.解题时，要充分利用设而不求法、弦长公式及方程根与系数的关系等知识，重视函数与方程的思想方法、数形结合的思想方法、对称思想、等价转化思想的应用.第(1)问，根据|AM|=|AN|和椭圆的对称性，求出k的值，进而可得△AMN的面积.由于直线方程AM、AN可用参数式表示，利用其几何意义可得巧妙解法.第(2)问，根据已知条件求出t和k之间的关系，利用t>3求k的取值范围.第(2)问的解答可以从不同的角度去构想，如由图像的几何特征寻求思路，如由直线的参数方程利用其几何意义求解，如由直角坐标向极坐标转化寻找巧思妙解，本题解答的自由度相当开阔，给学生提供了发挥才智的广阔平台.