李正兴高中数学微专题：压轴题攻略

高考填空题和选择题同属小题，其特点是跨度大，知识覆盖面广，既有反映数学基础知识的容易题，也有众多知识交汇、形式多样、解题方法灵活的能力题，这部分试题解决得好，对数学高考成绩获得高分至关重要，也就是说，填空题、选择题错多了，获得高分的希望也就没有了！

填空题与选择题同属客观题，两者当然也是有区别的：填空题没有选项，当然也缺少了选项的提示帮助作用，完全靠充分利用题设条件，考验学生数学基础知识的掌握是否扎实，知识网络是否清晰，运算能力是否过关，填空题像一道小型的解答题(当然题型小、难度不一定小)，因此解答题的求解思路可以移植到填空题上，运用直接的解题法比较普遍，但填空题毕竟不是解答题，无须书写过程，但结果必须百分之百的准确、规范、完整，切忌漏解、不可缺少必要的限制条件，应用性填空题不要忘写单位，根据“小题必须小解”的考试原则，答案正确就好，对思维的要求反而较易，特殊的解法也很多，大多与选择题的方法相通，如特例法、数形结合法、等价转化法、赋值法等.选择题由于有选项，且数学选择题一般是单选题，运用特殊技巧比如充分利用题设和选择这两个方面所提供的信息做出判断，获得正确结果的可能性更大.选择题的编拟往往是针对学生对相近概念的领悟水平，相似形式的模糊认识，或计算推理中易犯的典型错误以及对通识、通解上的薄弱环节精心设置的，对迷惑支(错误的选项)的策划思维独到，既有干扰的一面，也有可利用的一面，只有通过认真的观察、分析和思考才能挖掘其潜在的暗示作用，从而从反面获取信息，迅速做出判断，正是因为选择题突出了一个“选”字，其快速智取的特殊技巧相对填空题更为丰富.

由于这两类题型都不必写出解答过程，只要给出最后结论，作为考试中的这类考题，在有限的时间内要完成试卷，当然时间花得越少越好.在这个意义上讲，小题不能大做，解题的基本策略是争取巧做，尽量做到合理、正确、迅速，而要做到合理、正确、迅速，就要掌握求解填空题、选择题的解题策略.当然，全面地掌握知识点、贯通知识成网络也是不可缺少的.

有些选择、填空题似小实大，真做起来很不容易，也无特殊技巧可以解决，只能“小题大做”.实际上，所谓标准化考试对于数学而言，必存在弊端.只认结果，解题的思维过程完全看不到，对数学知识的认知水平的高下无法体现，核心素养更无从谈起，但作为考试，既有时间上的限制，又得让试卷体现三年数学教育知识的覆盖面，这类题型避免不了！

本讲结合近年高考介绍解填空题、选择题时常见的特殊技巧.

一、例题精讲

例1　(1)若实数x,y满足x2+y2≤1，则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是________；

(2)已知函数若关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围是(　　).

解题策略　对于一些具有几何意义的数学题，如能构造出与之相应的图形进行分析，则能在数形结合、以形助数中获得形象直观的解法.数形结合解填空题、选择题是一种简捷的方法，借助图形的直观性、相对迅速地获得结果.

解：(1)因为x2+y2≤1，x、y∈[-1,1]，所以6-x-3y>0.

所以u=|2x+y-2|+|6-x-3y|=|2x+y-2|+6-x-3y,

当时，u=x-2y+4,由数形结合知当时，

当时，u=-3x-4y+8,由数形结合知当时，

综上，|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值为3.

图1-20

(2)首先作出函数f(x)的图像，如图1-20所示，以其之“静”制约函数图像之“动”，函数的图像可由函数的图像经过平移生成，当a<0时向右平移-2a个单位；当a>0时向左平移2a个单位.在平移的过程中必须保证函数的图像始终在函数f(x)图像的“下方”(可有重合点)，不难由图像发现在移动的过程中f(x)的图像的“左段”与函数的图像(折线)的左支相切是极限状态，此时方程有唯一解，由判别式Δ=0得同理可得有唯一解，得a=2.进而得a的取值范围是故选A.

例2　(1)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减，f(2)=0，若f(x-1)>0，则x的取值范围是________；

(2)已知实数x,y满足则的最小值是________.

解题策略　根据原有数学问题的特征，依照需要构造出与之相关的一个数学对象，用这个对象就把原问题变为一个新问题.如果这个新问题只需用比较简明的方法就可以解决，那么构造法在这时就发挥了作用.用“构造法”解题不同于常规解题模式，其最大的特点是另辟蹊径，需要有敏锐的观察、丰富的联想、灵活的构造、创造性的思维等能力，由于填空题是“小题”，问题结构不会太复杂，构造对象一般容易找到，而创新思维的呈现又相当完美.

解：(1)解法一　构造符合条件的函数f(x)=-|x|+2，图像向右平移1个单位结合条件即可得x∈(-1,3).

解法二　构造符合条件的函数f(x)=-x2+4，则f(x-1)=-(x-1)2+4，结合条件可得x∈(1,3).

(2)构造一元函数，选择y为变量，由3x+xy=3得再由可得y>3.则

当且仅当时,即时取得最小值8.

例3　(1)设则sin2θ=(　　).

(2)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为(　　).

解题策略　在解答选择题时有一种特殊的解法叫作“估算法”，是建立在较高思维层次上的具有创新意识的思维和解题方法.常用的估算方法主要有：①范围估算，把所有数的大小范围估算出来，再在这一范围内探求，从而化繁为简，化难为易；②试验估算，通过具体试算，发现一些数字规律，从而达到估算有关数据的目的；③特值估算，通过特殊值代入或把问题条件特殊化、图形特殊化等，达到估算有关数据的目的.估算法并不是对每个备选项逐一估算，而是要对备选项之间的差异进行分析，找准那个与多数选项不同的项进行估算，推断其真伪.

解：(1)因为不妨设

则有故选A.

(2)观察本题条件，容易发现O-ABC是正四面体，其体积为而S到平面ABC的距离是O到平面ABC距离的2倍，由此可得三棱锥S-ABC的体积是但求三棱锥的高在不理解题意的状况下是困难的，若能变通思路，充分利用选择题答案呈现的特点，通过估算法确定答案是应试的首选，容易求得△ABC的面积为而三棱锥的高一定小于球的直径，所以立即排除B、C、D，从而选A.

例4　(1)若a>b>1,0<c<1，则(　　).

A.ac<bc　　B.abc<bac　　C.alogbc<blogac　　D.logac<logbc

(2)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为________.

(3)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线的两条渐近线分别交于点A、B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是________.

解题策略　赋值法是从题设条件中赋的特殊值或寻求最基本、最易操作的特殊状况，从而推出一般结论的方法，这一方法不仅能降低推算难度，简化思考过程，且还能提高解答的准确性，关键之处是如何根据题中的信息合理地、巧妙地对某些元素赋值.对于选择题，则可将所赋值代入选择支中进行检验或推断.

解：(1)取特殊值.如取对于选项不正确；对于选项不正确；对于选项不正确.因此选C项.(www.xing528.com)

(2)取特殊角，令即得f(x)=sinx，最大值为1.

(3)取特殊值，如取m=3,把x=3y-3代入得(9b2-a2)y2-18b2y+9b2=0，则AB中点的坐标为由已知得kPQ·kAB=-1，则该双曲线的离心率是

例5　(1)若不等式x2-logax<0在内恒成立，则a的取值范围是(　　).

(2)过x轴上一点P向圆C：x2+(y-2)2=1作圆的切线，切点为A、B，则△PAB面积的最小值是(　　).

(3)在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的平面角的取值范围是(　　).

解题策略　极限思想在中学数学中占有重要地位，它既是一种思维方法，也是一种解题方法，着重从直观上考查无穷运动，从无限或极端状态的角度去思考一个数学对象，从而得到数学关系的猜想，它实质上是特值法或特殊化法的延伸.极限法解选择题，根据题干及选择支的特征，考虑极端情形，有助于缩小选择面从而迅速找到答案.

解：(1)因为当时，显然x2<logax能成立，排除B、D.又当时，由当x→0时，可推得a<1，故选A.

图1-21

(2)如图1-21所示，若点P离原点趋向无穷远时，|CP|越来越长，|AP|、|BP|也随之越来越长.显然△ABP的面积趋向于无穷大；当点P趋近于原点时，△ABP的面积逐渐变小；当点P与原点重合时，且此时的△PAB为正三角形，面积最小，其最小面积为故选A.

(3)当正n棱锥的顶点无限趋近底面正多边形的中心时，则底面正多边形便为极限状态，此时棱锥相邻侧面所成的二面角α→π；当锥高无穷大，且底面相对固定不变时，或底面无穷小而锥高相对固定不变时，正n棱锥又是另一种极限状态，此时且大于故选A.

例6　(1)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0}，则A∪B=(　　).

A.(-1,1)　　　B.(0,1)　　　C.(-1,+∞)　　　D.(0,+∞)

(2)在△ABC中，有acosA+bcosB=ccosC，那么这个三角形一定是(　　).

A.以a为斜边的直角三角形　　　B.以b为斜边的直角三角形

C.等边三角形　　　D.以上结论都不对

(3)已知A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，O为坐标原点，若|OA|=|OB|且△ABO的内心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是(　　).

解题策略　排除法又称筛选法或逐步淘汰法，它是以逼近为基本策略，以一定的限定条件(“筛子”)为依据，对所有研究的对象进行考察，把不符合条件的对象逐步排除，把符合条件的对象保留下来，最后得到我们所需要的结果.

排除法是解答选择题的一种简捷方法，它可以充分运用选择题的特征，即有且仅有一个正确选择支这一信息，通过分析、计算、推理、判断，逐一排除错误支，最终选出正确支.

排除法的优点是，当不正确的结论(错误支)易于被找出时，会使解题速度加快，但当错误支不易迅速发现时，这种解法反而拖延了时间，甚至会不得其解.本例中的3小题均可用排除法解且能快捷得出正确结论.

解：(1)从4个选项中选择特殊数字检验求解，显然0∈B，从而可以排除选项B和选项D；当x=0 时，y=2x=20=1，即1∈A，从而可以排除选项A，故选C.

(2)由题设可知，acosA与bcosB是对称的关系，从而A、B是等价命题，故A、B同时排除，又由分析法知若C正确，则原式为2=1，矛盾，则C被排除，故选D.

(3)直线过焦点，内心不可能在三角形的边上，故排除A.

又则焦点又是△ABO的重心，而△ABO未必是正三角形，故排除B.

若选D,则可得所以

∵kAF·kOB=-1，∴F为垂心，排除D，故选C.

二、发散训练

1. 如果奇函数f(x)在[3,7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[-7,-3]上是(　　).

A.增函数且最小值为-5　　　B.减函数且最小值为-5

C.增函数且最大值为-5　　　D.减函数且最大值为-5

2. 在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则

A.2　　　B.4　　　C.5　　　D.10

3. 已知则tan2α=(　　).

4. 设f(x)=x3+x，x∈R，当时，f(msinθ)+f(1-m)>0恒成立，则实数m的取值范围是(　　).