李正兴高中数学压轴题攻略：居高临下，一览无余

数学是一门由无数问题组成并进行研究的学问，学数学的一个明显特点就是必须做习题，还要做大量的练习，同一道数学题常常有不同的解法.有些解法虽然很漂亮或技巧很好，但是只能用于解决狭窄的一类问题，所以“怎样解题？怎样把题解决得完美？”是学习数学过程中始终值得探讨的大课题.一个优秀的解题者总是善于从宏观上看清问题，制订解题计划，又能在微观上落实解题过程，这就是我们常讲的“大处着眼、小处入手”.

我们讲“大处着眼”，就是要站在高处来观察初等数学、分析高考中的压轴题.高考试卷通常比较注重对解题通性通法上的考查，但也有一些压轴题很难用“通性通法”顺利解决，需要在高一层次的观点下拓宽知识、开拓解题能力.当下数学教育改革的重点是把提升学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析6个方面的数学核心素养放在首位.教师应当站在这一高度统领数学高考复习的过程，教师应该具备更高的数学观点.理由是，观点越高，事物越显得简单.我推荐德国数学教育家菲利克斯·克莱因的《高观点下的初等数学》一书，他认为函数是数学的“灵魂”，应该成为中学数学的“基石”，应该把算术、代数和几何方面的内容，通过几何的形式，以函数为中心的观念综合起来，强调要用近代数学的观点来改造传统的中学教学内容，主张加强函数和微积分的教学、改革和充实代数的内容，倡导“高观点下的初等数学”意识.“应使学生了解数学并不是孤立的各门学问，而是一个有机的整体”；基础数学的教师应该站在更高的视角(高等数学)来审视、理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单.他认为“有关的每一个分支，原则上应看作是数学整体的代表”“有许多初等数学的现象只有在非初等的理论结构内才能被深刻地理解”.这本书的核心内容是函数为数学的“灵魂”，应该把知识通过几何的形式以函数为中心的观念综合起来，重点在解析几何、平面向量的教学上，加强函数和微积分教学特别是重要性越来越突显的导数部分.算术、代数和几何这三大部分也正是当今高中数学教育的主打板块.居高临下的另一方面是在攻克压轴题的阵地战中有必要适当掌握一些高中数学竞赛的解题方法或技巧，名牌大学自主招生考试中也会涉及竞赛型考题.

我们讲“小处入手”，就是在复习数学过程中需要总结从实践中积累起来的丰富多彩的解题中的学科方法，学科方法根植于数学基础知识的沃土.掌握了学科方法会使你在数学解题过程中尽快找到数学问题的破解之道，收到事半功倍之效，不但可以使你顺畅地解决数学问题，而且可以解决数学之外的问题.我们常说：数学是思维的体操，学科方法是具体的、能切入问题解决的方法，是数学智慧的精彩之果.面对一道综合性较强的压轴题，解题之前总要对问题进行分析，分析问题要居高临下、大处着眼，把题目涉及的知识网络看清楚，解剖到位、一览无余.大处着眼就是通过发散思维寻求破解之道，产生奇思妙想，在解题过程中不断闪现的战略、战术构想，数学思想的引领都属于这一范畴.学科方法是每门学科或每一知识板块、某一类型题中经常使用且效果明显的特殊方法，是具体的、有针对性的，是数学各分支每一种类型问题的各种有效的解法，是思维方法与数学知识在不同类型题中的灵活应用，是解题中的“小处入手”.

一、例题精讲

例1　已知数列{an}满足其中c>0.

(1)证明：对任意的M>0，存在正整数N，使得对于n∈N，an>M;

(2)设为bn前n项和，证明：{Sn}有界，且对d>0，存在正整数k，当n>k时，

解题策略　本例是2013年“华约”自主招生数学试题，这道题的难度比较大，高于高中数学教材要求.首先读懂题目是关键，复杂的叙述其实只说了一件事，那就是第(1)问要我们证明极限不存在，这种问题的设计颇有新意.第(2)问要我们证明极限是零，说法都是等价的，直接使用函数极限的思想就可以轻松证明这个问题，如果按照题目的叙述而按部就班的证明，那就会让你感到非常吃力.此外第(2)问需要稍微变形一下才行，将表达式转化为两个分式相减的形式，这里需要非常强的联想能力以及数学直觉，同时也告诉我们如果你对数学知识掌握得全面且深入，就会有居高临下的感觉，把难题看透彻，一览无余，轻松攻克.

证法一　(1)∵对任意n∈N*，满足又∵c>0，

∴{an}单调递增，又

∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1>(n-1)(a2-a1)

故对任意的正数M，取当n>N时有

(2)由得an+1=an(can+1),

且由(1)有

故对任意的d>0，取 当n>N时有

证法二　(1)易知an单调递增，另外由点(an,an+1)都在曲线f(x)=x+cx2上，故an无上限，即对任意M>0，总存在N∈Z+使得对n>N时，an>M.证毕.

(2)注意到

由(1)知

即{Sn}有界，且

即d>0时，存在k∈Z+，n>k时，证毕.

例2　在平面直角坐标系中，O是原点，A、B是第一象限内的点，并且A在直线y=tanθ·x上，其中是双曲线x2-y2=1上使△OAB面积最小的点，求当θ在中取什么值时，△OAB的面积最大，最大值是多少？

解题策略　本例的解答若能调动一个与解析几何不相关的知识会得到一种妙思巧解，说明许多数学知识从表面上看似乎毫不相关，完全属于两种不同的知识板块，但实际上都属于数学这个大的体系.找到知识之间的联结，会获得某种意想不到的解法，我们应当努力学会找到这类“巧借东风”的解题策略.

解法一　先提出一个引理：a、b、c、d∈R，则(ab-cd)2≥(a2-c2)(b2-d2)　①

当且仅当ad=bc等号成立.

引理的证明：①⟺a2b2+c2d2-2abcd≥a2b2-a2d2-b2c2+c2d2

⟺-2abcd≥-a2d2-b2c2⟺(ad-bc)2≥0，显然成立.

回到原题，设B(x0,y0)，则S△OAB最小⟺B到直线y=tanθ·x距离d最小，

而且

由上述引理，

即

故

令(www.xing528.com)

则

∴S△OAB

当且仅当时取等号.

因此，时，所求△OAB面积的最大值为

图1-19

解法二　如图1-19所示，由于B是双曲线x2-y2=1上使△OAB面积最小的点，故过点B的切线必与直线y=tanθ·x平行.

而双曲线x2-y2=1上过点B(x0,y0)处的切线方程是x0x-y0y=1，故又然后再用解法一的方法代入去求△OAB面积的最大值.

例3　以和为根的有理系数一元n次方程的最高次数n的最小值为(　　).

A.2　　　　　　B.3　　　　　　　C.5　　　　　　　D.6

解题策略　本题涉及多项式理论以及高次方程根的研究.就目前的高中教材体系而言，这方面的知识是薄弱的，作为选择题，很多人的第一反应是6(2×3=6)，而选D，问题在于n=6是否是满足条件的最小值，如果能证明以和为根的4次有理系数方程不存在，则可以排除A、B，但C与D两个选项中究竟选什么？本题实际上是可以利用高等代数的知识求解，大致解题思路介绍如下：

用一个有理多项式P(x)对x2-2进行带余除法，则P(x)=f(x)(x2-2)+ax+b，其中a,b∈Q，若为P(x)的根，则所以a=b=0，所以(x2-2)|P(x).同理可证[(x-1)3+2]|P(x)，又因为(x2-2)和(x-1)3+2这两个多项式互质，所以(x2-2).[(x-1)3+2]整除P(x)，P(x)至少是5次的，故应选C.下面介绍的是两种初等数学的解法.

解法一　显然，多项式f(x)=(x2-2)[(1-x)3-2]的系数均为有理数，且有两根分别为和于是知，以和为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于5.

若存在一个次数不超过4的有理系数多项式g(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e，其两根分别为和其中a,b,c,d,e不全为0，则有

即方程组：　有非零有理数解.

由①+③得：11a+b+c-d=0,　　⑥

由⑥+②得：11a+3b+c=0,　　　⑦

由⑥+④得：13a+4b+3c=0,　　　⑧

由⑦-⑤得：a=0，代入⑦、⑧得：b=c=0，代入①、②知：d=e=0，于是a=b=c=d=e=0，与a,b,c,d,e不全为0矛盾，所以，不存在一个次数不超过4的有理系数多项式g(x)，其两根分别为和

综上所述知，以和为两根的有理系数多项式的次数最小为5.

解法二　由得x2-2=0.由得(x-1)3+2=0.

故可构造方程(x2-2)[(x-1)3+2]=0，它是满足条件的5次方程.

下证所有2次和3次有理系数方程不满足题意.

若以和为根的有理系数方程为2次方程，则此二次方程可化为展开可知，系数显然不是有理数.

若以和为根的有理系数方程为三次方程，则此三次方程可化为(a是方程的第三个根)，展开后得二次项系数所以m∈Q，则

又它的常数项所以n∈Q，

即显然不可能.

这样可以排除选项A、B，选C.

二、发散训练

1. 已知数列{an}满足an+1=npn+qan，a1=0.

(1)若q=1，求{an}的通项公式；

(2)若|p|<1,|q|<1，证明数列{an}有界.

2. ∀x∈R都有acosx+bcos2x≥-1恒成立，求(a+b)max.

3. 已知函数y=f(x)的定义域为D，若对任意的x1,x2∈D都有|f(x1)-f(x2)|<1,则称函数y=f(x)为“玲珑函数”，否则称“非玲珑函数”,函数f(x)=x3-x+a(x∈[-1,1],a∈R)是否为“玲珑函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由.