实务工作中的精算模型改良方案

利用马尔可夫链进行多状态精算建模时，我们需要两个r×r的矩阵系列与一个1×r的矩阵系列，分别为状态转移概率矩阵Qn、状态转移现金流矩阵及状态内现金流矩阵。观察例4至例9中的状态转移矩阵，可以发现这些矩阵中有很多无效元素（取值为0）；另外，不同的两个理赔原因使得保单处于两个状态，即使在后续时间内处于这两个状态的保单所承担的保险责任完全相同，我们也不能将这两个状态合并为一个，例如，因不同原因终止的保单状态需定义不同的状态编号。因此，保单状态的个数实际上是由理赔原因/衰减原因的个数决定的，这使得状态转移矩阵的维度较高，从而降低运算效率。

为了解决这个问题，我们考虑将后续时间内保险责任与保费交纳要求完全相同的保单状态进行合并，例如，将不产生任何现金流的吸收状态统一编号为0，并用两个维度较低的矩阵来替代状态转移概率矩阵。这两个矩阵的大小均为r′×l，其中r′为可能产生现金流或可能转移至其他状态的保单状态数目，即保单生效时刻初始状态与各种中间状态的数目之和，l为赔付原因/保单衰减原因数目。

定义5　用L表示随机变量序列L1，L2，…，如果列L具有下列性质：

（1）Ln表示保险合同在时刻n所发生的保险事故/衰减原因编号；每个Ln是在l+1个值中取值的离散型随机变量（一般记为0，1，2，…，l，其中编号0表示未发生任何保险事故）。

（2）发生保险事故/保单衰减后，保险合同可能终止，也可能处于不同于保险合同生效时的初始状态。假定总共存在r′+1个可能的保单状态（其编号用0，1，2，…，r′表示，其中约定0为终止状态，1为保单生效时的初始状态，其他为发生某些事故后的中间状态）。保险合同的状态变化方向用矩阵TSn表示：

其中元素表示第i个有效保单状态发生第j个理赔/保单衰减后的保单状态编号，其取值可以是0，1，2，…，r′。

（3）用表示保险合同在时刻n所处的保单状态，用M′表示随机变量序列。

（4）记为时刻n-1处于保单状态i，在时刻n发生第j个保险事故/保单衰减的概率，其对应的矩阵为

称为理赔发生率/保单衰减概率矩阵。

（5）理赔发生率/保单衰减概率具备下列历史独立性：

则称L为一个无记忆的保险事故/保单衰减链。

例10（续例4，单重衰减模型可用无记忆的保险事故/保单衰减链来表达）　用状态1表示正常有效状态，PROBn与TSn矩阵分别为

PROBn=（qx+n）,

TSn=（0）。

例11（续例5，多重衰减模型可用无记忆的保险事故/保单衰减链来表达）　用状态1表示正常有效状态，PROBn与TSn矩阵分别为

例12（续例6，多重生命模型可用无记忆的保险事故/保单衰减链来表达）　记状态1为生命（x）与（y）均生存，状态2为（x）生存、（y）死亡，状态3为（x）死亡、（y）生存，状态0为（x）与（y）均死亡。为简单起见，假设（x）与（y）是独立的两个生命。PROBn与TSn矩阵分别为：

例13（续例7，部分提前给付重大疾病险可用无记忆的保险事故/保单衰减链来表达）　记正常有效状态为1，患重大疾病后有效状态为2。PROBn与TSn矩阵分别为

例14（续例8，全残年金保险可用无记忆的保险事故/保单衰减链来表达）　记正常有效状态为1，全残后有效状态为2。PROBn与TSn矩阵分别为

例15（续例9，带有轻症给付的提前给付重大疾病险可用无记忆的保险事故/保单衰减链来表达）　记正常有效状态为1，患轻症后有效状态为2。PROBn与TSn矩阵分别为(www.xing528.com)

通过上述例子，我们可以发现，在无记忆的保险事故/保单衰减链模型的矩阵PROBn和TSn中，仍然存在一些取值为0的无效元素，但是已经比马尔可夫链模型的状态转移矩阵少了很多。这些无效元素是无法绝对避免的，因为实务中保险合同处于不同的保单状态时，其保险责任的种类并不完全相同。

性质4　在无记忆的保险事故/保单衰减链模型中，随机过程M′为马尔可夫链，其状态转移矩阵为

其中IA为示性函数，

至此，我们已经在改良的多状态精算模型中构建了生存模型。为了计算各种精算现值，我们将现金流分为两类，并定义两个相应的现金流矩阵：第一个为理赔/衰减现金流矩阵，其维度为r′×l；第二个为留存现金流矩阵，其维度为r′×1，分别记为

仍然用kvn表示时刻n+k至时刻n的贴现因子。与之前约定类似，为简化起见，我们假设理赔/衰减现金流发生在期末，而留存现金流发生在期初。

假定当前（时刻n）处于状态s′，则其后续在状态i因第j个理赔/衰减原因所发生的现金流的精算现值计算公式为

假定当前（时刻n）处于状态s′，则其后续在状态i内发生的现金流的精算现值计算公式为

因此，若时刻n处于状态s′，其将来所有净现金流的精算现值为

假定当前（时刻n）处于状态s′，则其将来在状态i所有单位净保费的现值为

因此，若时刻n处于状态s′，则其将来所有净保费的精算现值为

另一方面，将来所有净现金流的精算现值计算公式中的状态内现金流可拆分为保费与责任现金流，记hCF_BEN（i）为除保费外的状态内净现金流，并令n=0及s′=1为保单生效时的初始状态，根据平衡方程可得：

由此可以解出

用Vs′@n表示时刻n处于状态s′的保单的均衡净保费准备金，则其计算公式为

从本章的计算公式可以看出，多状态精算模型的计算量比传统精算模型的计算量大，也难以找出与传统精算模型中的换算函数相似的工具，但随着计算机运算能力的发展，这些困难将不再成为实施复杂精算模型的障碍。同时，在计算各种精算现值时，我们也可以采用从后往前递推的公式进行计算，从而进一步达到减少运算量的目的。比如，对于现金流精算现值

APVs′@n，其递推公式为

【注释】

[1]本章内容以作者在《中国精算师》第一期上发表的《基于马尔可夫链的多状态精算模型及其应用》基础上进一步完善而成。