寿险精算模型实务：马尔可夫链与多状态

本节将主要参考詹姆斯·丹尼尔（James W.Daniel）的文章《Multistate Transition Models with Actuarial Applications》介绍基于马尔可夫链的多状态精算模型。

定义1　用M表示随机变量序列M0，M1，…。如果M具有下列性质：

（1）Mn表示某一物体在时刻n所处的状态编号；

（2）每个Mn是在r个值中取值的离散型随机变量（一般为1，2，…，r，有时也可以是0，1，2，…，r-1）；

（3）转移概率具备下列历史独立性：

则称M为一个马尔可夫链。以作为其第i行第j列元素的r×r维矩阵Qn，称为M在时刻n的状态转移矩阵。

上述定义中的“历史独立性”可以直观地理解为：该物体在任何时刻的状态转移仅仅与其在该时刻所处的状态相关，而与其之前所处的状态及状态转移路径不相关。人寿保险精算中所用的生命表，其中每个年龄的死亡发生率，可以看成是处于该年龄的被保险人从生存状态转换为死亡状态的转移概率；并且，该转移概率仅仅与被保险人当前的年龄相关，与之前的历史无关。精算实务中的各种其他发生率表也往往具备这种“历史独立性”。

将上述定义的马尔可夫链与人身保险中的保单状态进行对应，Mn可看作是时刻n保险合同所处的保单状态（或被保险人状态），转移概率可与保单的各种发生率相对应。传统精算模型中的生存模型可以系统地用马尔可夫链来表达，如下面的例4、例5与例6。

例4（单重衰减模型可利用马尔可夫链表达）　记状态0为被保险人（x）生存，状态1为被保险人（x）死亡，则单重衰减模型在第n年的状态转移矩阵为

例5（多重衰减模型也可利用马尔可夫链表达）　记被保险人投保年龄为x，记状态0为保单有效，状态j为保单因事故j而终止，j=1，2，…，m，则多重衰减模型在第n年的状态转移矩阵为

在上述状态转移矩阵中，各矩阵元素的取值为：，，，对所有j=1，2，…，m，，i≠j。

例6（多重生命模型也可利用马尔可夫链表达，以两重生命模型为例）

记状态1为生命（x）与（y）均生存，状态2为（x）生存、（y）死亡，状态3为（x）死亡、（y）生存，状态4为（x）与（y）均死亡。为简单起见，假设（x）与（y）是独立的两个生命，则第n年的状态转移矩阵为

第13.1节中3个现实例子的精算模型也可以方便地用马尔可夫链来表达。

例7（续例1，部分提前给付重大疾病险）　记保单生效时有效状态为1，患重大疾病（上标号为ci）后有效状态为2，死亡状态（上标号为dth）为3，退保状态（上标号为lap）为4。为简单起见，假定处于状态1和状态2的保单死亡率相同，则部分提前给付重大疾病险在考虑退保情况下第n年的状态转移矩阵为

例8（续例2，全残年金保险）　记保单生效时有效状态为1，全残（上标号为dis）后有效状态为2，死亡状态为3，退保状态为4。为简单起见，假定处于状态1和状态2的保单死亡率相同，则全残年金在考虑退保情况下第n年的状态转移矩阵为

其中，为全残后恢复到健康状态的概率。

例9（续例3，带有轻症给付条款的提前给付重大疾病险）　记保单生效时有效状态为1，患轻症（上标号为mci）后有效状态为2，死亡状态为3，因患重大疾病终止状态为4，退保状态为5。为简单起见，假定处于状态1和状态2的保单死亡率相同，这两个状态的重大疾病发生率也相同，则带有轻症提前给付条款的重大疾病保险在考虑退保情况下第n年的状态转移矩阵为

定义2　记，表示在时刻n处于状态i的前提下，时刻n+1仍然处于状态i的概率，称为时刻n状态i的留存概率。(www.xing528.com)

定义3　记，称该概率为在时刻n处于状态i的前提下的k步留存概率。

定义4　记，表示时刻n处于状态i，经过k个时刻处于状态j的概率。以为第i行第j列元素的r×r矩阵记为kQn，该矩阵称为马尔可夫链M的k步状态转移概率矩阵。

下面是几个有用的马尔可夫链的性质。

性质1　马尔可夫链M的k步转移概率矩阵等于相应的单步概率转移矩阵的乘积，即

kQn=Qn×Qn+1×…×Qn+k-1。

注意，多步转移概率指的是时刻n处于状态i，时刻n+k处于状态j的概率，并不是指从时刻n+1开始，刚好经过k步到达状态j的概率。该概率包含了在时n+k之前到达状态j，之后离开，最后又到达状态j的概率。同样，并不是从时刻n至时刻n+k一直留存在状态i的概率，即不等于。

性质2　假设在时刻n处于状态i，则直到时刻n+k一直处于状态i的概率为

性质3　假设在时刻n处于状态s，则在时刻n+k处于状态i并在时刻n+k+1处于状态j的概率为。

至此，介绍了如何利用马尔可夫链对多状态精算模型中的生存模型进行建模。在实务工作中，精算师往往更关心精算现值。为此，我们将现金流分为两类：一类是保单状态转移时发生的现金流，如一般寿险中的死亡赔付、重大疾病险中的重大疾病赔付等；另外一类是保单处于某一状态时发生的现金流，如期交保费、年金险中的年金给付、保单维持费用等。

用h+1C（i，j）表示从时刻h所处状态转移至时刻h+1所处状态j时发生的现金流。为简单起见，我们假设现金流发生时点为期末，即时刻h+1。用kvn表示时刻n+k的1个单位的确定性现金流在时刻n的价值，即时刻n+k至时刻n的贴现因子。假定当前（时刻n）处于状态s，则其后续从状态i转移至状态j所发生的现金流的精算现值计算公式为

用hC（i）表示在时刻h处于状态i发生的现金流。同样为简单起见，假设这些现金流发生在期初。假定当前（时刻n）处于状态s，则其后续在状态i内发生的现金流的精算现值计算公式为

因此，若在时刻n处于状态s，其将来所有净现金流的精算现值为

保费计算中广泛采用的平衡方程也适用于多状态精算模型。记NP为净保费，PPP为交费期间，hC_BEN（i）为除保费外的状态内净现金流，同时记

则时刻n处于状态s的保单，其将来在状态i所有单位净保费的现值为

因此，若时刻n处于状态s，其将来所有净保费的精算现值为

另一方面，将来所有净现金流的精算现值计算公式中的状态内现金流可拆分为保费与责任现金流，并令n=0及s为保单生效时的初始状态（记为0），根据平衡方程可得

由此可以解出：

用Vs@n表示时刻n处于状态s的保单的均衡净保费准备金，则其计算公式为