提高学生对小数认知的方法及开放性问题

（一）把学习的多重目标融入问题的表述中

目标指向学习过程与结果。目标的表述可以以问题形式出现。问题是推动学生思维发展的关键，也是进行教学实施的基本载体。问题的表述影响着学生学习的质量，尤其对于小学生而言，能否听懂一个问题是首要条件。教师要尽量将学习的多重目标融入问题的表述中，并且能让学生听懂。隐蔽不是简单，是要追求简洁表面下的思维汹涌，用尽量简洁的语言蕴藏丰富的数学知识。设计多重知识内涵的深度问题，不是指向某个零碎的知识点，而是指向一个知识包，需要学生充分发挥个体对核心概念的理解，并加以关联，才能够予以解答。

案例一：“认识小数”

“认知小数”是学生在小学阶段第一次认识“小数”的概念，教学由四个深度问题组构成，分别依次包含三个主体深度问题和一个挑战性问题。课始，教师提出：“你认识小数吗？”这是从学生已有的认知经验出发，唤醒学生原有认知，重视学生的生活经验，问题的目标指向是在教师的问题引领下，从日常生活中发现和提出简单的数学问题并尝试解决。课中，教师提出：“你还知道哪些小数？”这能引发学生再度思考，丰富学生现有认知。这是让学生了解数学可以描述生活中的一些现象，感受数学与生活的密切联系。课末，教师提出：“你对小数有何新的认识？”进一步发展学生对小数的认知，促进学生了解小数的含义，培养学生的数感。最后，教师抛出一个有挑战性的问题：“小数‘小’吗？”给足学生独立思考的时间，激发学生深度思考。

分析：从问题组间的逻辑关系看，学生对小数的认识是有经验的，所以教学的起点需要承认学生的已有认知，在此基础上迭代认识“小数”的概念，并最后回到对起点的反思。小数“小”吗？在学生初步认识小数的意义之后，教师提出一个开放且具有挑战性的问题。“小数”的“小”既有大小的内涵，又有反驳的空间——“小是相对的”，要看学生从哪个角度理解。学生在这样的问题引领下不断辨析，从而加深对小数意义本质的理解。另外，问题与问题之间是否具有内在的统一性和递进关系，决定着课堂学习推进的程度；看似独立的问题，也应当成为学生思维发展的台阶；问题的空间也决定了学生思维的空间。设计这样多重知识内涵的深度问题，可以充分发挥学生个体对核心概念的理解，培养学生数学思考力。

（二）一问多答是提问的关键范式

正如事物都具有形式和内容两个方面一样，课堂追问既要在内容上逼近数学，触及数学的本质，也要在形式上加以思考。在课堂的关键环节多使用一问多答的方式，通过一个具有开放性的、启发性的，且能够调动全班思考的深度问题，鼓励学生用自己的语言描述想法，创造一个开放的学习空间。这样的深度问题不能只用一个单一的知识点去解决，而要基于数学概念的综合应用与延伸拓展；但又需要足够简单，因为这样的问题应该是能让所有学生听懂并带入思考的问题。在这样的深度问题抛出后，学生可能会给出各种不同的答案，或许不同的学生有着类似的思考，但也可以用不同的方式加以表达，这才是“一问多答”的课堂理想提问范式。

案例二：教学“三角形的分类”

让学生猜一猜被信封遮住的可能是什么三角形。教师针对只露出一个锐角的三角形，引导学生继续进行深度思考。

师：为什么这个被信封遮住的可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形呢？

生1：因为锐角三角形的三个角都是锐角，所以我认为可能是锐角三角形。

生2：因为直角三角形中也有两个锐角，所以我觉得可能是直角三角形。

生3：因为钝角三角形中也有锐角，所以我认为有可能是钝角三角形。

师追问1：如果露出部分是直角或钝角，你能做出怎样的判断？

师追问2：三角形露出的都是一个角，为什么有的你能直接判断是什么三角形，有的却又不能直接判断呢？

分析：教学过程中，如果只是让学生按照某种标准学会给物体分类，这便是停留在认识层面上的教学；如果引导学生不断去反思何时需要分类、怎样确定分类的标准，同时还引导学生反思自己是怎样发现问题、分析问题、解决问题的，而在这一思维过程中又是怎样应用数学思想方法的，用了哪些基本思考方法和技巧，积累了哪些有益的成功经验，怎样去拓展和延伸，这便是上升为思想层面的教学。在这一过程中，学生得以“回头看”，审视自己的思维过程，梳理这一过程中积累的经验，进而自觉地运用学到的基本思想方法去解决实际问题。

（三）提高多次追问行为出现的频率

教师在课堂教学中要鼓励学生回答“深层次”的问题，以促进学生对数学的深刻理解。教师追问的质量与学生课堂学习效果显示出高度相关性。在实际教学过程中，教师提出的问题很多，但只有很少一部分能触发学生的高阶思维，这与教师的追问密切相关。教师的追问大多数是单次追问行为，少有多次追问行为的出现，并且多次追问中大都是追问两次就结束的，最多的也就是追问三次，无追问超过四次的情况。

瑞格和布朗（2001）分析了在课堂中讨论的1000多个问题，他们发现：53%的问题是独立的，而47%的问题是两个或两个以上的系列问题组成的，而47%的问题中只有10%的问题是超过4个的系列问题。支离破碎的问题必然没有办法使得学生的思维系列化、结构化，而多次追问是系列问题的重要表现。多次追问是围绕一个问题反复提问，可以加深学生对问题的理解，帮助学生的思维系列化、结构化。

案例三：教学“因数与倍数”

师：请找出2的倍数。

生1：2、4、6、8。

师：你是怎样找到的？

生1：2的1倍是2，2的2倍是4，2的3倍是6，2的4倍是8，所以2、4、6、8都是2的倍数。

师追问1：谁能接着找下去？

生2：10、12、14、16、18。

生3：20、22、24、26、28。

师追问2：找得完吗？

生：找不完。

师追问3：能试着用一个词来表示2的倍数的个数吗？

生1：无限多。

生2：无数个。

师追问4：2的最小倍数是几？有没有最大的倍数呢？

生1：2的最小倍数是2，是它本身；2没有最大的倍数，它的倍数的个数是无限的。

分析：教师的追问，让学生自主地掌握找一个数的倍数的方法与它们的特点，让学生在自主学习和独立探索中领悟、理解概念。如果教师让学生找出2的倍数，学生有规律地找了一些，如果这时教师不去追问，只是告诉学生：2的倍数是无限的；最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。这样的教学效果可想而知。在教学中，教师应该巧妙地进行系列而逐渐深化的追问，提高多次追问行为出现的频率，让学生深入概念的内涵、明确概念的外延。

（四）追问对象少变换，锁定同一人

教师追问和首次提问有很大关系，是根据提问时学生的回答情况而进行的再次追问。因此，当教师针对一个人进行追问时，教师追问的问题往往是基于该学生的回答。这样追问可以使教师深入了解学生的学习状态，更好地结合学生自身认知结构因材施教，尊重学生的个性特征。教师可以根据学生的最近发展区，提出一些具有挑战性的问题，鼓励学生战胜问题、增加自信心和学习动力。因此，基于追问的特点，教师需要锁定追问对象，少变换对象，最好是针对同一个人进行追问。

案例四：计算35÷

在分数除法计算中，类似这种形式的混合运算，总有学生误以为可以运用简便算法进行计算。多数学生的结果是，但有极少数学生的答案是”或“56”。有的同学也意识到自己的答案不对，却又不明白错在哪里。

师（指名其中一名做错的同学）：这道算式怎样读？请你读一读这道算式。

生1：35除以5再加上。

师：他读得对吗？（同学们都直摇头）

生2：35除以5加的和。

师：为什么这样读？

生2：因为算式中有括号，应先算括号里的和，再用5除以的和。(www.xing528.com)

教师请刚才做错的同学按正确的方法读三次，并再次指名生1。

师：知道自己错在哪里了吗？

生1：我第一步先算35除以5是不对的，应先算括号里，再算。

分析：学生在学习中出错是在所难免的，所以教师应保持平和、理性的心态，因为出错的学生此时是迷茫的、不知所措的。教师如果严厉批评或呵斥学生，他们就会因为害怕而使思维变得更加混乱，甚至产生厌学的心理。此时，教师要拿出足够的耐心，追问对象尽量少变换，锁定同一人，引导学生找出错误的原因，寻找解决问题的方法，带领学生走出迷茫。这样不仅能够帮助学生找出错因、弄清算理、改正错误，还能让学生深深感受到来自教师的关怀和爱护，既有利于培养学生的自信心，又激发了学生的学习积极性。

（五）把握追问时机实现数学深度学习

1.在思维的关键处追问，突破学习难点

问题是数学的心脏，有了问题，思维才有方向，学生课堂参与的最高境界是思维的参与。教学中追问运用得当，常常可以激活学生思维。教师抓住思维的关键处循序渐进地进行追问，使学生学活知识、用活知识，有效地突破学习难点。

案例五：教学“圆的周长”

例如一位教师在教学六年级“圆的周长”一课时，引导学生观察正方形的边长与周长之间的倍数关系（见图3-4-1），比较正方形的周长与圆周长之间的关系（见图3-4-2）。通过问题与讨论，学生猜测、推理出圆的周长与直径的倍数关系。

师：把圆的周长与正方形的周长进行比较，你发现了什么？

生：正方形的周长比圆的周长要长一点，我觉得可能是一倍多一点。

师追问1：想一想，圆的周长与直径的倍数关系？超过2倍，但小于3倍；超过3倍，但小于4倍；也有可能正好是3倍。

生：我认为超过3倍，但小于4倍。

师追问2：为什么会这样认为？

生：因为正方形的边长等于圆的直径，正方形的周长是边长的4倍，正方形的周长又比圆的周长多一点，所以圆的周长与直径倍数应该小于4倍。

师追问3：怎么理解超过3倍呢？

生：如果把一个圆沿直径剪开，可以发现上部分圆的周长的一半可能是直径的1.5倍多，同样下半部分圆的周长的一半也是直径的1.5倍多，因此，周长与直径的倍数超过3倍。

此时，同学们自发地鼓掌。

师：想一想（见图3-4-3），一条圆弧大约是半径的几倍？

生：一条圆弧大约是半径的1.5倍。

师追问4：4条圆弧大约是半径的几倍？

生：大约是6倍。

师：换言之，圆的周长是直径的几倍？

生：大约是3倍。

图3-4-1

图3-4-2

图3-4-3

分析：学习活动是学生以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程。学生在学习新知识之前，已有自己的知识结构和经验结构，它们是学生新知获得的“固着点”。课的问题引入是以学生已经学过和正方形有关知识为突破口，通过寻找“曲”与“直”之间的联系，最大限度地挖掘学生已有的知识基础。在学生思维的关键处追问，让学生主动从事观察、比较、实验、猜测、验证等探索性、发现性的思维活动，在自主探索过程中掌握知识、技能、数学思想和方法。

2.在问题的矛盾处追问，促进学生思维发展

促进学生思维的发展是数学教育的核心任务。学生在自主探究知识的过程中，有时对探究问题过程中出现的矛盾不能进一步进行深层次的解释、分析。学生思维困惑的地方，也是教学难点之处。

例如对“面积单位”的教学，在建立1平方厘米的表象后，可以这样做：

片段：建立1平方分米的表象。

师：用1平方厘米的正方形量一量课桌面的大小。（学生动手测量，有些学生测量一会儿后发现问题，若有所思）

生：我发现用1平方厘米的正方形测量课桌面的大小太麻烦。

师追问：你是说1平方厘米比较小，量比较大的物体时应该使用大一些的面积单位吗？

生：对（欣喜地点头）。如果有一个比1平方厘米大一点的面积单位那就更好了。

师：量一量：1平方分米小正方形的边长是多少？

生：边长是1分米。

此时，教师引导学生像学习1平方厘米面积单位那样，描述1平方分米并通过系列活动感知它的大小。

分析：数学概念的形成、数学方法的积累、数学规律的总结，都需要学生能从数学对象中抽象出数学模型，在建模的过程中培养学生的数感。教师在问题的冲突处巧妙“追问”，激发学生的探究欲望，让学生在问题解决中不知不觉地解决思维困惑，凸显数学思考，发展思维能力。

教学要追求深度，那么教师首先要对数学知识有深刻理解，只有触及数学本质，才可能有出彩的设计。在教学中，当教师不断追问“为什么”时，就是迈向理解性数学教学设计的第一步。追问是教师的一种教学技能，是检验教学机智的最好手段。在课堂教学中，教师要捕捉有效追问的最佳时机，选择适当的追问方式，让思维在“问题链”中“深入浅出”。