利用数学史促进深度思考的有效方法

从远古时期至今，数学一直伴随着人们的生活。小小的数学知识背后有着历史大背景。教师研读教材过程中要对教学知识点的宽度和纵深进行思考，教学设计关注知识的来龙去脉，让有限的教学时间带给学生更多的启迪。

（一）研读小知识，挖掘大背景

数学史源远流长，但是数学史料并不一定会直观展示在教材中，而是有赖于教师利用多种途径去挖掘。教师深度挖掘数学知识背后丰富的数学史，是恰当融入数学史的前提，也是突破教学重难点的有效途径。多位数学家认为，儿童的认知发展与人类历史发展所走过的道路是相同的，让学生在课堂上快速经历数学史各个阶段，有利于学生对知识的学习和掌握。

1.显性知识挖掘历史背景

教师要善于从显性数学知识中挖掘隐性的数学历史背景。例如人教版《义务教育教科书·数学》一年级上册学习“0的认识”，教材中呈现了“猴子吃桃”的情境，引出对“0”的认识，并借助直尺上的“0”体会“0”还可以表示起点。在学习过程中，学生对“0”显得迷茫。为了解答学生的疑惑，教师查阅“0”的发展史：1881年，在古代印度西北部距离白沙瓦市约80公里的一座名叫巴克沙利的村庄，佃户在挖地时发现了书写在桦树皮上的手稿，记载了公元元年前后的印度数学，当时的“0”是用实心的点表示，后来逐渐演变成圆圈，而圆圈表示“0”最晚于9世纪在印度出现。“0”既表示“无”的概念，又表示位值制记数法中的空位。我国的“0”与世界发展一致，在战国时期就用空表示“0”了。中国数字空位用方框表示，慢慢就用圆圈取代了方框，由此圆圈“0”产生了。

对“0”的认识是比较抽象的，而且教师难以提供直观、具体的数量与之建立联系，因而利用数学史激发深入思考，可以采用多种形式把数学史融入课堂教学中。如可以通过讲故事深入浅出地嵌入式穿插教学，也可以把情境展示融入课堂教学复原古代“0”的发展史，从而让学生体验和感知“0”的意义。再结合学生身边的情境理解“0”，激活学生已有的生活经验和数学知识，让学生经历与历史上的数学家们类似的知识形成过程，扫清学习上的障碍。这样在遵循学生认知特点的基础上，能够拓宽学生视野，激发学生数学学习热情，并能增强学生对教学知识深入思考和理解。

教学中引入我们古代“0”的发展史，让学生了解我们国家远古时期人们的智慧和国家的强大，激发爱国热情，培养学生创新意识，继续深入探寻开发利用大自然资源。

2.由“点”挖掘出“面”

教师要善于由教材中数学史料的一个“点”挖掘出整个“面”。例如人教版《义务教育教科书·数学》五年级上册第六单元“多边形的面积”这个教学内容，教材中提供的数学史料：“我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平面图形的面积。出入相补原理就是把一个图形经过分割、移补，而面积保持不变，来计算出它的面积。”

教师介绍“出入相补”原理的由来：“例如同样的七块板，虽然形状可以发生各种各样的变化，但是它们的面积却是不变的，这就是数学上‘出入相补’的原理。这个原理最早是由我国著名的数学家刘徽提出来的，他被称作‘中国数学史上的牛顿’。”教师用这样鲜活的数学史引入的方式，可以增强学生的民族自豪感和认同感，并激发学生学习兴趣。

刘徽就是利用“出入相补”的原理研究平行四边形的面积。我们将沿着数学家的足迹探究平行四边形的面积计算，让学生明白：利用“出入相补”的原理，把平行四边形转化成了长方形，在转化的过程中虽然形状变了，但是面积却没有变。

学生在掌握了用“出入相补”原理求平行四边形的面积后，深入思考三角形、梯形甚至一些不规则图形也可以用这种方法去求它们的面积，促进知识的正迁移，同时体验转化的数学思想方法。

教材中“出入相补”这个数学史料仅仅是放在单元总结中的一个“点”，而教师要善于融合相关的知识，引导学生把这个“点”放大到整个“面”，让它贯穿于整个单元的学习中，以及这种思想方法还可以运用到今后的学习和工作中。

从数学史中了解教材知识产生和发展的大背景，可以丰富教师专业知识储备，帮助教师研读教材，适时适当地将数学史融入教学中，充分发挥数学史的教育价值，加深教师对教学的深度思考和对教材的进一步理解，使教师合理安排教学环节，促进教师对数学历史文化的认识及提升其数学素养。

（二）观察生活现象，思考数学本质

在备课过程中，教师深入思考，依照教材上的单元内容，搜寻相应的数学史料，想象自己进入历史上的数学知识活动参与者的心灵之中，做出教师自己诠释性的反思；在课堂教学中，设计让学生经历历史上数学家们探究发现知识的过程，有助于学生了解数学知识的历史渊源，激发学习热情，提高学习效果。

比如生活中可能性的现象处处可见，人们一般用抛硬币的方法来决定概率事件。例如在教学人教版《义务教育教科书·数学》五年级上册“可能性”时，教师研读教材，深度思考理解教材，查阅文献，巧妙设计，合理安排教学过程，让学生重走数学知识的建构过程，引导学生通过实践掌握技能技巧，认真观察实践现象，发现知识本质。

在课堂教学中，教师把全班学生随机分为8个小组，让每个小组成员每人抛硬币10次，记录数据并填入小组合作表。完成小组实验后，记录员将本组的总计填入班级总表中进行合计，提醒学生注意思考：正面朝上的次数与总次数有什么关系？通过实验发现：当抛硬币次数较少时，正面朝上的可能性并不一定就是总次数的，数据具有随机性，但当我们把全班各小组所抛次数合计一下，就能发现：随着抛硬币的次数增加，正面朝上及反面朝上出现的次数会逐渐接近，也就是出现可能性相等。这与历史上一些数学家抛硬币的实验结果是相同的，如表3-1-2所示。(www.xing528.com)

表3-1-2　历史上的一些数学家抛硬币的实验结果

通过研读数学史，教师巧妙地将数学史融入课堂教学活动中，引导学生沿着历史的足迹研究数学，让全班同学在不知不觉中将自己当作数学家一样做实验。发现知识，理解算理，让学生体验再创造的快乐，在教学中也适时培养了同学们团结协作、合作共赢的意识及鼓励学生向数学家们学习，感悟坚持不懈的努力才会越来越接近成功的道理。

数学从产生起就与人类生产劳动紧密相连。生活中处处有数学。比如人体的构造，大自然中树叶、花瓣的组成，一切美的造型，都离不开黄金分割的使用。古代人利用大自然中日出、日落的周而复始及滴漏壶现象，巧妙制造日晷、铜漏壶等记录时间的工具。数的产生、发展过程，神奇的斐波那契数列，等等，无不体现了古人的智慧、数学的神奇与伟大。在教学中，教师要以数学教学为主轴，同时考虑学生的认知心理和想法，深度思考数学史材料如何经过适当的裁剪和处理，使之助力于课堂教学，拓宽学生视野，培养全方位的认知能力，实现多元文化关怀的目标。

（三）阅读数学史，融入课堂教学

数学史在小学数学课堂教学中是学习数学文化、感受数学思想的重要载体之一。数学史辅助教学的过程中，由于教材内容和学生接受能力的不同，教师应对历史材料进行必要的加工和剪裁。荷兰数学家弗莱登塔尔的“再创造”的观点正好可以说明此类问题。

在重视培养学生学习能力和发展思维的数学课堂上，教师从分析教学的需要入手，深入研究教材，灵活处理教材，通过考查知识点的历史发展、教学目标，以及学生本身的认知特点及知识水平来制定具体的课堂教学计划，再选择合适的时机，恰到好处地引入数学史知识，将有利于引导学生全面理解数学知识，拓展思维，举一反三，提高学生的迁移能力和教学效益，推动课程教学顺利完成。这对教师的教学提出了更高要求，需要教师深入阅读并思考才能更好地设计课堂教学环节。在此实践教学过程中，教师的反思和批判能力也能得到提高。

例如在人教版《义务教育教科书·数学》四年级下册“简便运算”教学中，为了培养学生的数学思维和举一反三的能力，教师在备课时思考要把著名数学家高斯的故事融入课堂教学中，通过实践让学生体验计算“1+2+3+……+98+99+100=？”这个连加算式用一个数一个数加起来的方法难以确保正确率高，还费时费力；引导同学探究发现，换一种思维，换一种角度，巧妙搭配，分组计算，将出现“1+100=101，2+99=101，3+98=101……，49+52=101，50+51=101，这样等于101的组合一共有50组，答案就是101×50=5050”。这样的思路，简明易懂，正是聪明的“数学王子”高斯解决1连加到100的简算方法。教师有效安排教学过程，先让学生自由独立计算，通过自己的实际操作活动，发现自己的算法既烦琐又容易出错，不易得出准确答案，而通过学习，领悟到“数学王子”的巧算思维，能快速、准确地知道结果，又学习感悟了等差数列求和的相关知识，巧妙搭建了相关知识之间的桥梁。在教学中，教师要恰当引导，教育同学们今后在遇到新问题时，都应该先思考之前学过、做过的相关习题和解决方法，进行综合思考，找到最佳方案，采取最优方法解决问题。可见，教师深入理解教材、思考教学环节、把数学史融入课堂教学的有效性是很重要的。

（四）品读数学家故事，培养优秀品质

1.借鉴数学家故事，培养良好品格

榜样对人的影响很大。数学史中众多鲜活生动的数学家的故事就能够启迪和促使学生形成良好的品格。在课堂教学中，教师应当根据教学内容适时融入相关的数学家故事。

比如教师可以让学生经历用“割圆术”探究圆周率的过程，感受数学家孜孜不倦的探究精神。先秦时期的数学著作《周髀算经》中已经有“周三径一”的记载，这个数值在很长一段时间里被用来进行圆的有关计算。但刘徽认为，用“周三径一”计算出来的周长，实际上并不是圆的周长，而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆的周长小很多。于是刘徽决定继续分割，做成一个圆内接正十二边形、正二十四边形……按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并因此而求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似数值，最后还指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。

正因为刘徽不满足于已有的结论，才会孜孜不倦地进行探索。要进行如此精密的计算，在当时是一项极为细致而艰巨的脑力劳动，而且需要日复一日地重复这种状态，如果一个人没有极大的毅力，是完成不了这项工作的。教师可以利用数学史引入数学家故事。数学家们的故事不仅可以为学生指明道路，还对学生树立远大的理想起到了促进作用。数学家那种严谨治学的态度，坚持不懈、勇于探索的精神，能够让学生感到震撼，激励学生攻坚克难、奋发图强。

2.对比探索成果，发展数学思维

数学史上有不少数学问题吸引了一个又一个数学家研究并完善。以人教版《义务教育教科书·数学》六年级“圆”的“圆周率”由来为例：据《周髀算经》记载，早在先秦时期就有数学家利用“化曲为直”的思想得出“周三径一”的结论；到东汉的张衡，他从研究圆与它的外切正方形的关系中研究圆周率，这个数值比“周三径一”精确了一些；魏晋时期刘徽创立了“割圆术”，用圆内接正多边形逐步逼近圆，内接正多边形边数无限增加时，周长就无限接近圆周长；而到了南北朝时期，祖冲之则把圆周率精确到小数点后第七位；现在借助计算机已经计算出圆周率小数点后面六十万亿位。

教师根据知识点学习要求查阅文献、研读数学史，通过古今对比，了解数学家们不满足于现有知识结论，通过多途径、多角度、多样化的解决策略，在分析问题的过程中数据采集精确的科学研究精神。在圆周率研究中，教师们发展数学思维并逐渐得出精密的科学结论，同时渗透“化曲为直”和极限思想，有利于培养数学思维和数学思想方法，感受从古至今，探寻未来。

由此可见，教师研读教材，挖掘数学知识背后的大背景，利用数学史深度思考，合理进行教学设计，对教师的专业发展起到促进作用，对激发学生学习数学的热情和培养创新人才也有明显的效果。