渗透数学史：领悟数学思想

（一）把数学史融入小学数学课堂的现状

融入方式单一。华东师范大学汪校勤教授在把数学史融入课堂教学的实践中，总结出了四种融入方式：附加式、复制式、顺应式、重构式。这四种方式中，属附加式的应用最为简单，也是大部分教师在教学中融入数学史的主要方式。教师在课堂教学中常将数学史料附加在一节课的开头或结尾，未与新知识融合。在这样的课堂中学习，学生只是浅显地接触到数学史，并未感受到数学史当中的趣味、数学思想及更深层次的价值。

融入的素材简单，未进行扩充、加工。人教版教材从小学低年段就开始融入数学史知识，素材丰富，贯穿古今，横跨东西，包含了数学知识的起源与发展、数学家的贡献、数学著作、数学名题和数学思想方法等内容。数学史的呈现方式多样，有纯文字、文字配图和连环画三种方式，但篇幅较短、内容简要。教师在备课时，对于简短的数学史料并没有精心加工或者有意识地扩充。这样的教学难以激发学生对数学的学习兴趣，也很难让学生体会到数学史的魅力。

融入浅显，效益不佳。在进行数学史的教学时，教师多以灌输的形式让学生接受既定的事实，而不是让学生知道数学知识或数学思想方法背后的原因和过程。例如在教学“圆的周长”时，教师仅仅告知学生“周三径一”和祖冲之计算的圆周率两段历史素材，而学生并不知晓当中知识的发展过程。这样简单地融入，并没有将数学史与数学知识有机地联系起来，达不到激发学生的学习兴趣和领悟古人的数学思想方法的效果。

（二）把数学史融入小学数学课堂的方式

对于如何有效地将数学史料融入数学课堂中，需要教师对数学史料进行合理筛选、组合和改造，适时融入教学过程中，使学生听起来自然，容易接受，乐于接受，并能从数学史中得到启发，从而达到数学教学所追求的效果。笔者选取人教版小学数学四年级下册第九章“数学广角——鸡兔同笼”这一课，探究把数学史融入小学数学课堂的方式。

1.收集史料

“鸡兔同笼”问题是我国古代著名的数学趣题，流传至今有1500多年。这个问题最早出现在《孙子算经》中，原文为：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何？答曰：雉二十三；兔一十二。”书中还展示了两种算法过程，方法一：“上置三十五头，下置九十四足。半其足，得四十七。以少减多，再命之。上三除下三，上五除下五。下有一除上一，下有二除上二，即得。”方法二：“上置头，下置足。半其足，以头除足，以足除头，即得。”

后来，“鸡兔同笼”问题又被明代程大位收录于《算法统筹》中，并给出了两种与《孙子算经》中的“半足法”不同的算法——“倍头法”，算理与现在的“假设法”相同。第一种算法是先求兔的只数：“置总头倍之得七十，与总足内减七十余二四，折半得一十二是兔。以四足乘之得四十八足，总足减之余四十六足为鸡足，折半得二十三只。”第二种算法是先求鸡的只数：“以四因总头，减去总足，余折半得鸡，减总头数余得兔。”

2.挖掘史料中的价值(www.xing528.com)

“鸡兔同笼”问题来源于生活实际，同时又用于解决生活问题。比如《镜湖缘》中的“灯球问题”、日本的“龟鹤问题”，充分体现了数学来源于生活，又服务于生活，让学生感受到数学的实用性。这个问题的实质是二元一次方程组问题。古人的解法虽然只讲述了计算方法，没有说明算理，但本质上还是“消元”，运用了假设思想。教师可以向学生介绍古人的计算方法，渗透化繁为简、假设的思想方法，帮助学生理解“鸡兔同笼”问题的本质，建立问题模型。

3.设计思路

教师首先以图片的形式导入《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题。历史中的原题数量较大，同时还要求求出两个量。由于学生首次遇到这样的问题会无从下手，教师可以让学生尝试猜测结果，然后尝试调整。这样不仅可以激发学生的学习兴趣、激活课堂氛围，还可以培养学生的思维能力。

在学生猜测3次后还得不到正确结论的情况下，将头数减至8个、脚数减至26只，渗透化繁为简的思想。当数量少了之后，学生便容易猜到结果，并把猜测的结果列成表格，经历列表的形成过程，同时感悟“增加1只鸡，同时减少1只兔，脚的总数减少2只（或减少1只鸡，同时增加1只兔，脚的总数增加2只）”的变化规律，为后续“假设法”的探究和算理的理解做好铺垫。

接着设置问题：“能不能先假设一组数据，例如6只鸡，5只兔，共18只脚，然后一次调整到正确结果呢？”教师将学生从列表法引导至探究假设法的环节中，让学生继续探索更简便的解决问题的方法。不同的学生可能假设的数据也不相同，组织学生交流，优化计算方法，引导学生发现假设全都是鸡或者全都是兔时，计算起来会更简单。

在运用假设法解决情境图中的“鸡兔同笼”问题后，学生基本上已经掌握了假设法，理解了假设法的本质。此时教师可以引入史料，介绍《孙子算经》和《算法统筹》中的解法。书中原文的表达生涩难懂，需要教师翻译成让学生容易理解的表述，如“半脚法”的表述：（1）假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起两只脚，地上还有94÷2=47只脚，此时鸡变成了“单脚鸡”，兔子“站”了起来；（2）如果让每只鸡、每只兔再抬起一只脚，有35个头，一共抬起了35只脚，还有47-35=12只脚在地上，此时鸡就“坐”在地上了，兔子还剩1只脚“站”在地上，所以兔子有12只；（3）最后用总头数减去兔的只数：35-12=23，就是鸡的只数。“倍足法”的表述：（1）假如把鸡的翅膀看成脚，让所有鸡的翅膀着地，这时每只小动物都有4只脚，一共有35×4=140只脚；（2）原来有94只脚，所以鸡一共有140-94=46只翅膀着地；（3）一只鸡有2只翅膀，所以一共有46÷2=23只鸡，再用总头数35-23=12，得到的就是兔的只数。这样的表达不仅通俗易懂，还能让学生感受到数学史的趣味性，再配上对应的图片，数形结合，加深了学生对“鸡兔同笼”问题本质的理解，也进一步渗透了假设思想。

最后在课堂练习环节，教师让学生独立完成日本的“龟鹤问题”，一方面可以让学生感受“鸡兔同笼”问题的广泛应用，另一方面也可以巩固解决这类问题的方法，进而建立解决问题的数学模型。

（三）结语

数学史不仅能够拓宽学生的知识面，还有助于学生数学核心素养的养成。为了使学生能够真正体会到数学知识的独特魅力，帮助他们更加高效地学习数学知识，教师要善于利用学校数学教材中的数学史素材，通过向学生呈现有趣的数学史来激发学生学习数学知识的兴趣，促进学生思考问题、拓宽思维，帮助学生更好地理解数学知识的本质。