概率的历史故事

【小知识】

《义务教育数学课程标准（2011年版）》［以下简称《标准（2011年版）》］，将“概率”作为义务教育阶段数学课程内容“统计与概率”中的一部分，且安排在人教版小学数学教科书五年级下册第四单元，以“可能性”的知识展现在学生面前，其知识内容分为三大模块：体验事件发生的确定性和不确定性；能列举出简单试验所有可能发生的结果，感受随机现象结果发生的可能性是有大有小的；根据随机现象结果发生的可能性的大小进行推测。在小学阶段设置简单的“概率”内容，主要是为了培养学生的随机思维，让其学会用概率的眼光去观察大千世界，所以在教学中应加强对学生概率素养的培养，增强学生对随机思想的理解，使学生充分感受和体验简单随机现象中的可能性，能对一些简单的随机现象发生的可能性大小做出定性描述，而不需要用概率来定量描述。这一点在本单元例2中就体现出来了。

本单元的例2是一个摸棋子的活动，例题先呈现一个装有两种颜色棋子的盒子，其中红色棋子有4个，蓝色棋子有1个。首先提出问题：“摸出一个棋子，可能是什么颜色？”引导学生根据已有的生活经验，可分析出：“从盒子里摸出一个棋子，可能是红色，也可能是蓝色”，这属于严格确定性。紧接着，安排学生进行试验：摸出一个棋子，记录它的颜色，然后放回去摇匀再摸，重复20次。学生在收集、分析数据，以及讨论交流统计结果的活动中，初步感受随机事件发生的统计规律性，并知道事件发生的可能性是有大小的。结合多组学生摸棋子的记录表，引导学生对摸棋子活动进行定性描述：“摸出蓝色棋子的次数比红色棋子少”或“摸出红色棋子的次数比蓝色棋子多”。最后抛出问题：“再摸一次，摸出哪种颜色棋子的可能性大？”引导学生能根据试验的统计结果对下一次试验的结果做出推测，描述为“摸出红色棋子的可能性大”，使学生进一步感受不确定现象的特点。

在现实世界中，严格确定性的现象十分有限，不确定现象却大量存在，而概率论正是研究不确定现象的规律性的数学分支。那么，概率论又是如何发展起来的呢？让我们一起走进概率论的历史吧。

【大背景】

据考古证明，早在古代就有了骰子，人们通过它来预测未来、占卜命运和赌博，可以说历史十分悠久，但尚未形成理论。公元前2000多年，商队和商人在做生意时会签定财产保险、海运保险；古罗马时期，国民会购买人寿保险。但14世纪以前的财产保险、海运保险、人寿保险形式对随机思想和统计观念并没有起到任何推动作用，不过却为概率论的诞生奠定了基础。随着保险事业的不断发展，保险公司需要考虑风险，如海运保险的损失率、人寿保险中不同年龄的死亡率等；经济的发展也要求对国民经济收入，税率，人口出生率、死亡率等做出定量的描述、分析和预测。这些领域都向数学提出了新的要求，需要运用数学工具来研究偶然现象中蕴藏的客观规律，估计事故发生的可能性的大小，这就为概率论的诞生创造了条件。

而真正对概率论的诞生起直接推动作用的是古代的机会游戏。意大利著名诗人但丁在其《神曲》（1307—1321）的“炼狱篇”第6节中，提到了流行于意大利的一种机会游戏：一人同时掷三个骰子，另一人猜点数和（3～18）。其中，3=1+1+1和18=6+6+6这两个点数各只有一种组合方式，而9、10、11、12等其他点数则可通过几种不同的组合得到（如9=1+2+6=1+3+5=1+4+4=2+2+5=2+3+4=3+3+3）。显然，3点和18点猜中的可能性要比其他点数小。这个游戏令经常玩的佛罗伦萨贵族们感到困惑，因为9、10、11、12都有六种组合，即：

9=1+2+6=1+3+5=1+4+4=2+2+5=2+3+4=3+3+3

10=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4

11=1+4+6=1+5+5=2+3+6=2+4+5=3+3+5=3+4+4(www.xing528.com)

12=1+5+6=2+4+6=2+5+5=3+3+6=3+4+5=4+4+4

可在实际玩的过程中，得到10和11的次数总要超过9和12。到底是何原因使理论计算与实际经验不符呢？所以，这个骰子的“投掷问题”一直是概率论诞生前的酝酿阶段中数学家们探讨的一个重要话题。3个世纪以后，意大利著名天文学家伽利略研究了这个问题。他指出点数和是不对称的，即有顺序之别，如1+2+6不是一种组合，而是6种，因此在总共216种组合中，点数和为10、11的情形各出现27次，而点数和为9、12的情形各出现25次，所以点数和10和11出现的机会要多于9和12，这与实际经验完全吻合。后来，法国数学家拉普拉斯在他的著作《分析概率论》（1814）中，经常把伽利略对机会游戏的解答作为概率的一个基本原理来引用。尽管机会游戏的“投掷问题”没有直接诞生出概率论，但它对概率论的推动作用是不可估量的。

16世纪和17世纪，法国社会中赌博游戏变得十分流行。随着游戏变得越来越复杂和赌注变得越来越大，于是需要一种数学方法用于计算胜负及赌金的分配，这时赌博游戏进入数学。1653年，法国数学家帕斯卡在旅途中遇到“赌坛老手”梅累。梅累向帕斯卡咨询一个“分赌注”的问题：有一次，梅累与其赌友赌掷骰子，每人押了32个金币，并事先约定：如果梅累先掷出三个6点，或其赌友先掷出三个4点，便算是赢家。令人遗憾的是，这个赌博游戏并没有顺利结束。当梅累掷出两次6点，其赌友掷出一次4点时，梅累接到陪同国王接见外宾的通知，军命难违，此时收回各自的赌注又不甘心，他们只好按照已有的成绩分配64个金币。这时赌友说，虽然梅累只需再碰上一个6点就赢了，但他若再碰上两次4点，也就赢了，所以他分得的金币应该是梅累的一半，即赌注的三分之一。然而，梅累不同意这样分，即使下次赌友掷出一个4点，他还可以分得赌金的二分之一，即32个金币；再加上下次他还有一半希望掷出6点，这样又可得16个金币，所以他至少能分得赌金的四分之三。这就是著名的“分赌本”问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢S局就算赢。在一人赢a（＜s）局，另一人赢b（＜s）局时，赌博中止。问赌本应该怎样分才合理？”

虽然帕斯卡在数学研究领域硕果累累，但是这个貌似十分简单的赌博问题却难住他了。经过长时间的研究，他最终一无所获。1654年，帕斯卡求助于好友费马，通过通信讨论这个问题。费马提出了一个方法，就是列出所有可能的结果，然后对每个结果的胜利者记数。而帕斯卡在其《论算术三角形》中运用组合知识解释并解决了这个问题，即如果玩家A需要赢两局，而玩家B需要赢三局，那么两个人一定在四局内决出胜负；通过帕斯卡三角形中的第四行的数1、4、6、4、1，赌注应该以（1+4+6）∶（4+1）即11∶5的比例分配。帕斯卡和费马解决了“分赌本”问题，标志着概率论的诞生。

后来荷兰数学家惠更斯也对两人所研究的问题很感兴趣，他收集了所有赌博中的问题，潜心研究，引进数学期望的概念，证明了若p是一个人获得赌金a的概率，q是他获得赌金b的概率，则他可以希望获得的总赌金数为ap+bq。惠更斯把解法写进了《论赌博中的计算》一书并于1657年出版。这一著作是概率论发展史上的第一部专著。

17世纪末，瑞士数学家贝努里也在概率论研究上有所贡献，从理论上证明了大数定理，并研究了独立重复试验概型。这种概型研究的是只有两个可能结果的试验，并经多次重复的试验验证，因此具有普遍意义。

18世纪，概率论发展很快。概率论工作者不是孤立地、静止地研究事件发生的概率，而是把随机现象视为一种特殊的变量——随机变量。随机变量的引入使数学家如鱼得水，他们利用各种数学工具，研究随机变量的分布，从而使概率论的研究得到了一次飞跃。法国杰出数学家德莫哇佛尔最早研究了随机变量服从正态分布的情形，发现了正态概率分布曲线，并证明了二项分布当的情形。1740年，英国数学家心普松在《机会的性质与规律》一书中研究了关于产品剔废及检查问题的多项分布情形。

19世纪，虽然概率论风行一时，但由于一些学者过分夸大了它的作用并错误地使用在一些领域上，导致概率论的发展在西欧较长的一段时间出现停滞。法国数学家拉普拉斯和波阿松虽然错误地宣传过把概率论应用到“伦理科学”上，但他们对概率论有重大贡献：波阿松通过研究，发现了在概率论中占重要地位的一个分布——波阿松分布。波阿松还是第一个把概率论运用到解决射击问题上的数学家。拉普拉斯在1812年出版的经典著作《分析概率论》中对18世纪概率论的研究成果做了比较完美的总结，内容包括几何概率、贝努里定理、最小二乘法等。他还明确了概率的古典定义，证明了中心极限定理中的德莫哇佛尔—拉普拉斯形式，发展了概率论在观察和测量误差方面的应用。可以说，他是严密地、系统地奠定概率论基础的第一人。不足之处在于他对概率的定义缺乏深入的讨论，只是企图把任何一个概率问题勉强纳入简单的等可能概型。

20世纪以来，由于公理化体系的建立，概率相关理论更加完备。随机过程、数理统计从概率论中独立出来，成为两门生命力极强的新学科。概率的应用性越来越显示出来，产生了应用概率的研究分支，并由此滋生出许多分支。概率论与其他学科相结合，又出现了不少边缘学科。1933年，柯尔莫哥洛夫在他的《概率论的基本概念》一书中，叙述了概率公理化的定义。这个定义以勒贝格测度为理论基础，抓住概率的有界性、非负性、可加性三条最基本的性质来定义概率。这种定义在逻辑关系上和其他数学分支完全相仿，从而使概率论成为一个严谨的数学分支。1934年，苏联数学家辛钦创立了概率论的一个重要分支：平稳随机过程。1955年，“应用概率”这一概念被提出。这一伟大的创举为概率论提供了空前绝后的理论。这一应用研究的出现，使概率在社会科学中的量化更加精确，使概率在生活中的作用变得不可估量。