微分中值定理应用题解析及答案

例9 若f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导，且 f（a）=f（b），则（　）.

A.至少存在一点 ζ∈（a，b），使得 f′（ζ）=0

B.一定不存在一点 ζ∈（a，b），使得 f′（ζ）=0

C.恰好存在一点 ζ∈（a，b），使得f′（ζ）=0

D.对任意的 ζ∈（a，b），不一定能使 f′（ζ）=0

答案为A.

解析 本题考查微分中值定理的应用.本题的已知条件满足罗尔定理的3个已知条件：（1）f（x）在闭区间[a，b]上连续；（2）f（x）在开区间（a，b）上可导；（3） f（a）=f（b），所以由罗尔定理可知，在（a，b）上至少存在一点ξ使得f′（ξ）=0.

例10 下列说法正确的是（　）.

A.若f（x）在 x=x0连续，则f（x）在 x=x0可导

B.若f（x）在 x=x0不可导，则f（x）在 x=x0不连续

C.若f（x）在 x=x0不可微，则f（x）在 x=x0的极限不存在(www.xing528.com)

D.若f（x）在 x=x0不连续，则f（x）在 x=x0不可导

答案为D.

解析 本题考查连续、可微、可导三者之间的关系.三者的关系可表述如下：

y=f（x）在点 x0可微⇔ y=f（x）在点 x0可导⇒y=f（x）在点 x0连续.“可导”等价于“可微”，“可导”一定“连续”，但是“连续”不一定“可导”，故选　D.

例11 设f（x）在[a，b]上连续，且 ∀x ∈ [a，b]，f（x）≠0，证明：f（x）在[a，b]上恒正或恒负.

解析 本题考查闭区间上连续函数的性质.

（反证法）假设存在 x1，x2∈[a，b]，使得f（x1）与f（x2）异号，不妨设x1＜x2，f（x1）＞0，f（x2）＜0，由于函数f（x）在[a，b]上连续，故f（x）在 [x1，x2]上也连续.由根的存在性定理可知，∃ξ ∈（x1，x2）使得f（ξ）=0.这与在[a，b]上f（x）≠0矛盾，原题得证.

例12 证明，其中0＜a＜b.

证明 记函数f（x）=lnx，则函数f（）x在[a，b]上连续且可导，由拉格朗日中值定理知，∃ξ ∈（a，b），使得.又因为0＜a＜ξ＜b，所以有，从而.