基于核心素养的高中数学概念课教学案例

函数的概念

【教材分析】

本节选自人教A版普通高中数学课程标准实验教科书必修一第一章第2课时。“函数”是中学数学的核心内容，其所包含的思想方法，贯穿了整个高中数学学习的始终。高中对函数概念的定义以初中“变量说”的定义为基础进行延伸，用“对应说”从集合的角度对函数的概念进行定义，是对初中函数概念的继承和发展，其核心内涵为非空数集之间的对应。本节课在教材中的作用如下：

函数的概念起着承前启后的作用。初中所学函数的概念具有运动变化的物理背景，建立在“变化”的基础上。高中函数的概念在延续“变量说”的基础上，发展延伸，进行升华，更深层次地挖掘函数的意义及其所蕴含的数学思想。并且，高中数学对函数的概念重视强调函数是描述现实世界的数学模型。同时，函数的概念也为后续函数的性质、基本初等函数的学习打下基础，而且其蕴含的数学思想极其丰富，为用函数思想解决方程、不等式等问题打下理论基础。

高一学生的思维主要处于形象思维阶段，抽象思维的形成正处于雏形阶段，而函数的概念比较抽象，通过这节课的学习，帮助学生在思维上锻炼、提高能力，培养学生用数学的眼光、语言来看待并描述现实世界，提升学生的数学抽象、直观想象、数学建模等数学核心素养。

函数的概念及其所蕴含的数学思想为后续学习数列、算法、三角函数、向量等知识提供帮助，不仅如此，横向来看，对于函数概念的应用还可以扩展到物理、生物、信息技术等学科。

因此，对于函数的概念教学和学习，在高中数学课程的体系中占据着不可或缺的地位。

【学情分析】

学生在学习本节内容前，已经在初中学过函数的概念，理解了一次函数、二次函数、正（反）比例函数并会其图像表示，知道可以用函数来描述变量之间的依赖关系，但对用图像、表格表示的函数并不理解，不能说出对应的关系，并不认为其是函数。在概念理解方面，虽然学生在初中已经接触过了函数，但只是简单地了解了什么是一次函数、二次函数、反比例函数等，对函数的本质是缺乏一定的认识的，而函数的概念本身十分抽象，这对学生进一步学习函数的图像与性质造成了一定的困扰。初中从物体运动变化的规律来直观地定义函数，但并未完全揭示函数概念的本质，如“y=1”是否为函数。如果从集合与对应的角度入手，就可以很容易地解释这个问题。学生虽然在初中已经初步接触了函数的概念，但重新学习的话还存在一定的障碍，对概念中的关键词“每一个”“唯一确定”等关注不够，并且对于“y→f（x）”的理解比较困难。

【目标分析】

以丰富的实例为背景，抽象出具体的函数，使学生进一步感受到函数是描述两个量之间的相互依赖关系及其变化的数学模型，会从集合与对应关系的角度出发来刻画函数，通过对函数的发展史的了解，进而加深对函数概念本质的理解，了解构成函数的三要素，并能运用所学知识求简单的函数的定义域与值域。

在实际的情境中，能够根据需求，从不同的角度用恰当的方式来表示函数，理解用图像、表格表示函数的特点，理解对应关系、定义域、值域之间的关系，理解f（x）是自变量x在其对应关系f下的函数值，会用函数的定义解决实际问题。

学生能够感受到函数概念建立的过程及其蕴含的思想方法，能够用函数的解析式和函数的图像表示来说明函数整体所具备的特征，并可以简单描述函数的性质，在学习的过程中提升数学运算、直观想象素养；能够借助现实情境体会函数与现实生活的联系，提升数学抽象素养；能够将现实的问题描述成为数学语言，利用函数的知识把问题构建成数学模型，提高利用数学知识建模的素养，并能简单了解到与函数相关的数学文化。

【重难点分析】

重点：函数的概念及y→f（x）的理解。

难点：函数的概念及函数符号f（x）的理解。

【教学过程设计】

1.情境导入

情境：利用多媒体播放嫦娥四号卫星探测月球发射成功的视频（略图）。

教师：古有嫦娥奔月，今有卫星探测月球，对太空的探索，对未知事物的研究，科学家们一直在努力着。在刚刚播放的视频中，同学们发现，当卫星发射后，随着时间的变化，卫星与地球的距离也越来越远，而距离随着时间的变化正是我们关注的问题。其实，早在16世纪初，在研究物体的运动规律的过程中，数学家、科学家、思想家们发现可以从数学的角度出发，借助数学思想与方法，对现实问题进行抽象，建立数学模型，通过对数学问题的解决来解释现实中物体事物变化的规律。数学与我们的现实世界息息相关，生活中处处也都有数学的影子，今天我们也来探讨如何用数学的眼光描述物体变化量之间的规律以及关系。

设计意图：弗赖登塔尔曾说过，数学应是从“原始的现实开始”。借助古神话与现代科学相结合的教学情境，从现实问题出发激发学生的学习兴趣与求知欲，在学生想要探索问题答案的过程中引导学生对现实问题进行思考，可以从数学的角度进行分析，在潜移默化中帮助学生经历对实际问题的抽象，提升学生的数学抽象与建模素养。并且，“嫦娥”卫星的发射成功这一具体例子也可以增强学生的民族自豪感。

2.复习回顾

问题1：我们在初中学习了函数，请同学们说一说初中函数是怎样定义的？你能否举几个你熟悉的函数？

师生互动：学生回答初中函数的定义，并举例说明，教师根据学生所举的例子，引导学生要求用函数的三种表达形式进行表示。如果学生所举的函数例子都是解析式形式，教师继续提问是否所有的函数都是解析式，能否举例用图像和表格表示的函数。

设计意图：通过举例说明来回顾初中所学函数概念，从学生的原有知识体系出发，有利于后续概念的同化，推动学生的思考。

问题2：由上述定义，请判断“y=0”是否表示为一个函数？函数y=x与是否表示同一个函数？

师生互动：学生合作交流得出结论，教师点评讲解，从现有的概念很难回答上述的问题，需要寻求不同的角度，此处很自然地引入并介绍函数概念的发展史，并从身边事物入手，通过情境的抽象以及对问题的分析，发现数学关系，揭示在变化的事物中，其存在的普遍规律中蕴含的本质是一种对应关系，提高学生学习的热情。

设计意图：从学生的“最近发展区”出发，通过由现有知识无法解释的问题来引起学生的认知冲突，在已有认知的基础上，对知识进行“再创造”，使得新知识与原有知识建立联系。通过对问题的分析、抽象与转化，来提升学生的抽象素养和数学建模素养。数学史的融入有助于帮助学生对函数概念本质的认识。

3.新课推进

（1）运用几何画板演示课本例1

要求学生观察炮弹飞行高度与时间之间的变化关系，回答炮弹的飞行高度是否可以构成一个集合，时间是否可以构成一个集合，两个集合中的元素有着怎样的关系。(www.xing528.com)

师生互动：学生用计算器演算，教师对学生进行引导，尝试从集合的角度出发，找寻时间与高度之间的联系，发现其中所蕴含的对应关系，并注意总结在时间的变化范围内，任意给定一个实数，都有唯一的一个高度与之相对应，同时注意规范学生的数学用语。

（2）PPT展示课本例2

要求学生观察时间与臭氧层面积之间的变化关系，回答臭氧层面积是否可以构成一个集合，时间是否可以构成一个集合，两个集合中的元素有着怎样的关系。

师生互动：学生观察图像，小组内讨论交流得出结论，教师进行点评，引导学生用数学的语言对结论进行描述。

（3）PPT展示课本例3

请同学们观察图表，仿照例1、例2描述图表中两个变量之间的关系。

师生互动：学生小组讨论交流，教师给予恰当的引导，找到每个变量变化范围的集合，并从集合与对应的角度出发，描述恩格尔系数与时间（年份）的关系。

设计意图：通过三个实例的教学，引导学生对实际问题进行思考，可以抽象成数学问题，通过对数学问题的分析，感受函数概念的本质是一种对应。实例1是学生熟悉的函数解析式形式，了解到解析式是可以刻画物理问题中两个变量之间的关系的。实例2让学生在观察图像曲线变化的过程中，认识到图像也是刻画两个变量之间对应关系的一种形式，为后面学习“函数的表示”方法做铺垫。实例3在引导学生自己尝试用集合与对应的语言对问题进行描述的同时，也认识到表格也能刻画变量之间的对应关系，是一种函数关系。利用多媒体来展示物体运动变化的问题情境，借助对实际问题的抽象，帮助学生认识到现实世界的问题可以抽象成函数模型进行解决，提升学生的建模素养。在观察、比较、分析中归纳变量之间的对应关系，引导学生观察、比较，建立对应关系，进而提升学生的抽象素养。引导学生运用集合的语言对问题进行描述，在锻炼学生的数学交流能力的同时，促进学生积极思考，发展学生的逻辑推理素养，并在对集合的刻画以及对应中让学生体会到数学的严谨性。

问题3：请同学们小组讨论分析，上述三个函数例子有什么共同点吗？

师生互动：学生回答出三个实例的共同点是三个函数都是从两个集合出发的一种对应，不同点是表达的形式不同。教师根据学生的回答进行点评，重点说明关键的问题在于两个集合的这种对应，而表达的形式并不重要，并追问两个量的这种对应关系与前面提过的两个变量之间的依赖关系是否一致。

设计意图：将函数从现实的物理背景中剥离，完全抽象成一个数学模型，进而凸显其本质属性，帮助学生认识到函数“变量说”与“对应说”本质上是一致的。学生只有从不同的角度认识函数，才能对其概念更加深刻理解。

4.归纳探索

问题4：请同学们回忆初中我们都学习了哪些特殊的运算符号。

师生互动：学生回答所学过具有特殊意义的运算符号，如三角函数符号、绝对值符号等，教师总结，这些运算符号实际上是一种省略符号，帮助我们用简洁的方式表达问题，并引导学生思考，能否进行类比，把函数的三种“对应”类型（解析式、图像、表格）统一地用一个符号表示成对应关系。

追问：同学们能否从集合的角度出发，对函数下一个定义呢？

师生活动：教师在学生讨论回答的基础上，将对应关系“f”引入，并让学生讨论“对应关系f”的含义，以及有何作用，引导学生尝试用集合的语言来表达集合A中元素x与集合B中元素y之间的“对应关系”，注意强调两个集合都是非空数集。在学生表述的基础上，教师补充，给出函数概念的完整表述。

定义：一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫作从A到B的一个函数，通常记为y→f（x），其中所有的x组成的集合A叫作函数y→f（x）的定义域，与x相对应的y值叫作函数值，函数值的集合叫作函数的值域。

设计意图：借助已学过的数学运算符号，对新的知识进行同化，帮助学生理解对应关系“？？”，引导学生从集合的观点描述已有的概念，获得对函数概念的新知与升华，并锻炼学生用符号语言来表达数学问题的能力，同时促进学生抽象思维的发展。

5.知识升华

问题5：请说出你认为函数的概念中的关键词有哪些。

师生活动：在学生回答的基础上，教师加以点评，进行强调，同时指出一个函数必须具备两个集合（定义域和值域）与一个对应，并将定义域、值域、对应关系称为函数的三要素。

设计意图：通过对函数概念的多角度与多层次的审视，在思考中体会和探究函数的本质以及丰富的内涵，借此加速学生对概念的同化。在“变化”的现象中发现“不变”，在“不变”中寻求“变化”，有助于帮助学生揭示概念的本质属性，培养学生用数学的眼光来观察我们周围的世界，在对问题不断反思与不断归纳中使学生的数学抽象得到提升。

6.课堂小结

问题6：通过本节课的学习，同学们都有哪些收获？与初中学习的函数知识相比，请同学们谈一谈你对函数都有哪些新的认识？

师生活动：学生小组讨论，代表发言，教师对学生的回答给予点评补充，从知识内容与思想方法两个方面进行总结，对所学内容进行升华。

设计意图：将学生以小组的形式进行分组讨论，这样做的目的是让学生逐步形成学习的主动性，培养相互合作的意识以及利用数学语言来交流的能力。通过自我总结的方法，让学生成为课堂的主人翁。在对一节课知识与思想进行梳理的同时，对所学知识进行巩固，进而将所学知识及时转化为自己所有，融入已有的知识体系中。

7.课后思考

问题7：函数是刻画现实世界的数学模型，请同学们寻找我们周围生活中存在不同形式的表达函数关系的例子，并说出它们的三要素。

设计意图：数学源于对现实世界的抽象，也应回归于生活，学生通过从现实生活中抽象出数学模型，通过数学问题的解答来解决实际问题。借助函数的知识，对不同实际情境，根据需要可以建立恰当的函数模型，从而理解函数图像、表格等表达形式的作用及意义，提升数学建模素养。同时，对实际问题的解决可以帮助学生体验数学的乐趣，体会成功的喜悦，增长学生学习数学的热情，培养数学情感素养。