四、数学章起始课教学的理论基础

（一）系统观

系统观的内涵包括整体性、层次性、联系性和目的性。其中，整体性指的是要把研究对象看成一个整体，且研究过程中应该从整体出发研究对象的本质和规律。除此之外，应在组成系统的各要素相关关系中探究。层次性指的是每个系统又是它的上位系统的组成要素，由此构成具有层级关系的整体。联系性指的是系统和系统之间、各要素之间、系统和要素之间是相互联系、相互作用的。目的性则是指数学育人目标有一个从宏观到微观的层级系统。系统观为章起始课的教学设计奠定了理论基础。实际教学中，很多教师习惯采用“分—总”模式，也就是通常先讲知识点，再进行知识点总结。这样，就让很多学生拥有较零散的知识，并且不知道这些详细内容应该用在什么地方。如果教师能够在知识内容上加强整体设计，从宏观到微观，从整体背景到局部知识，让学生明白“为什么学”和“学什么”，则可以激励学生更加主动积极地学习。

（二）奥苏贝尔先行组织者理论

1.先行组织者内涵

著名的美国教育心理学家奥苏贝尔在他的著作中写到，如果把所有的教育心理学知识总结为一句话的话，那就是搞清学生已经知道了什么，并且根据这一情况组织教学。

正是基于这个理念，他提出了认知同化论的观点，以及先行组织者原则。他认为，在学习一些新的内容之前，先介绍一些恰当、蕴含性广的引导性材料，在已学知识与未学知识之间架起一个桥梁，帮助学生确定有意义学习的方向，增强已学与即将学的知识间的联系与可辨别性，防止干扰。由于这些材料是在学习新的内容之前呈现的，因此它们又被称为先行组织者。

2.先行组织者的意义

在教育界有颇为盛行的教育口号——为迁移而教，这里所说的“迁移”是指实现已有知识向新知识的飞跃。为了实现这一飞跃，我们教师在平时的教学中应该好好思考与研究如何改善学生的学习方法，实现知识的迁移。奥苏贝尔认为，先行组织者能帮助学生意识到把自己头脑中已经有的知识和即将学习研究的知识联系一下，在它们之间架起一座桥梁，这样就能做到有意义地学得新的知识。先行组织者还能帮助学生顺利高效地实现知识间的迁移，更好地掌握新的知识，感悟到其数学实质，提高听课的效率，让学生的学习更有针对性，在轻松、愉快、自主的氛围中学得新知识。也就是说，结合教育心理学的知识来讲，先行组织者能够促进新旧知识间的有效迁移，学生学习获得新的知识的过程实质上是已有知识向新的知识的迁移过程。换句话说，在实现旧的知识向新的知识迁移这一过程当中，先行组织者起到了促进和纽带的重要作用。在教学中若能恰当地用好先行组织者策略，一定能促进知识间的良好迁移。

奥苏贝尔认为，先行组织者可以这样分：第一，说明性组织者。通过复习回顾合适的类属者，在它们与新的内容之间建立一种上位关系。比如，在讲授数列章节起始课的时候，教师可以带领学生复习函数的研究方法，为下面研究数列做铺垫。这里就可以在函数与数列之间建立一种上位关系。第二，比较性组织者。比较性组织者可以整合新旧概念，还可以便于辨别形似质异新旧知识。比如，在学习向量的运算方法的时候，可以呈现实数运算规则。在学习过程中，很少出现学生对即将学习的内容完全不熟悉的现象，实际情况往往是既感到陌生，又似曾相识，从而经常会出现混淆，这时采用比较性组织者策略既可以强化已有知识，也可以为新知识找到固着点，还可以增强新旧知识间的可辨别性，从而学生就可以准确地理解知识。

3.在教学中应用先行组织者的基本原理

奥苏贝尔认为，同化是有意义学习的心理机制。所谓同化，实质上就是学生在学习新的知识的时候，会在头脑中想以前学过的相关知识，从而把它纳入自己的认知结构中去。他将学习分为上位学习、下位学习、并列结合学习三种类型，不论哪一种学习方式都是一个学生加工所学知识的过程。他还提出，当学生无法在自己原有的知识结构中找到合适的知识来同化新的知识的时候，教师可以给学生呈现比起即将学习的知识具有更高的抽象性和包摄性的引导性材料来帮助学生吸收新的知识。

还有人还把运用先行组织者策略的过程进行了这样的划分：首先，呈现先行组织者；其次，在第一部之后，呈现即将要学习的知识，同时补充一些有助于理解新知识的下位概念；最后，经过综合贯通，强化知识结构。

先行组织者理论不仅为章起始课的教学设计提供了理论支撑，还为高中数学章起始课的教学方法提供了思路。章起始课的教学往往可以通过引导学生回顾之前学过的知识，并用之前的知识去解释、整合或者联系将要学习的新知识。因此，章起始课的教学可以改进学生的认知结构，并促进学生新知识的形成。

（三）布卢姆的教育目标分类理论(www.xing528.com)

教育目标分类学是被布卢姆等人在20世纪五六十年代提出的。同时，总的教学目标被他们分为认知领域、情感领域和动作技能领域这三个领域。其中，认知目标由低级到高级被分为知识、领会、运用、分析、综合和评价六种水平，其划分依据是从简单到复杂和从具体到抽象的原则。第一层是属于“知识”的范畴，后面五个层次属于“智力技能”的范畴。“知识”不需要对原来输入的信息做过大的改组或加工，只需要对信息做简单的记忆。而后面的五种“智力技能”与“知识”的不同之处在于，智力技能属于加工知识的方式，需要组织或者重新组织知识。

高中数学章起始课教学设计确定教学目标可以根据这个分类系统进行思考。具体来说就是，学习目标不能只注重“知识”这一起码的目标，还必须重视学习者智力技能的培养。总之，教师制订的学习目标必须反映这一分类系统中所涉及的各种能力水平。

（四）皮亚杰的建构主义学习理论

建构主义作为一种新的认知理论，其流派众多，思想来源复杂。教育心理学领域的一场革命便是建构主义理论的出现，该理论兴起于20世纪80年代。皮亚杰是认知发展领域最有影响的一位心理学家之一。皮亚杰关于建构主义的基本观点是，儿童是在与周围环境相互作用的过程中，逐步建构起关于外部世界的知识，从而使自身认知结构得到发展。

本书应用的主要是皮亚杰建构主义关于教学的思想内容，概括起来，有如下四点：①注重以学生为中心进行教学；②注重在实际情境中的教学；③注重协作学习；④注重提供充分的资源。皮亚杰的建构主义学习理论选择从个人认知的角度去接近、描绘学习。该理论可以给教学带来很多启示。比如，在教学设计中，注重以学生已有知识为依据，合理安排教学环节，引导学生积极思考，尽量多用自己的想法来解决问题。在教学活动中，营造师生、生生之间相互讨论、交流的氛围和机会，使学生体验到自己想法和他人想法的异同，体验到多元思维的精彩。

（五）弗赖登塔尔的数学素养观

弗赖登塔尔在他的著作中提到，学习应该是“无目的”的，不应该为了学习而学习，其中养成的素养才是人们能够终身受益的所得。弗赖登塔尔通过五个方面的内容论述了数学素养观，即表达、现实、再创造、反思、严谨性。

表达是指数学要通过其特有的语言去认识世界。例如，集合、函数、算法都有多种数学符号的表示方法，它可以增强数学交流的准确性，加深学生对数学本身的理解。

数学的诞生与回归都应指向实际生活，这是弗赖登塔尔的核心观点。他主张，设置的情境问题要贴近实际生活的，即人们都知道的问题，数学与现实的密切联系使其不得过于抽象，即数学理应是每个人都可掌握的，而不仅限于部分人所有。

学生对学习内容进行“数学化”，其实质是学生对知识的“再创造”，即将具体的实际问题转化为数学问题的过程，或者由学生发现、创造整个过程，进而得出结论。整个过程中，学生有着绝对的自主性，可以发展各种不同的思维能力。

反思即对学习过程中认知、领会、应用、分析等过程的思考，由此学生能够了解行为背后潜藏的实质，从而有目的、有意识地应用数学概念，变无意义做题为有意义研究。

弗赖登塔尔强调，虽然数学是严谨的，但是其严谨的标准是不一致的，应该从实际出发，制订严谨性的标准。因此，学生应该基于自身水平，根据自己进行学习数学的具体目的，得到自己的严谨性，以提高精确量化处理问题的能力。

上述观点为基于数学核心素养进行高中数学章起始课授课的必要性奠定了理论基础。