范希尔几何思维水平对学生的几何直观能力进行了五个水平的划分，在学生思维层次划分上具有借鉴意义。霍弗（Hoffer）在学生对图形和操作性工具方面进行探索，根据学生的直观化能力将其分为五个水平。李秉德教授对不同年龄层次的学生的学习内容中包含的抽象成分和具体成分进行了研究。殷殿宇通过分析比对将中学生数学学习的直观想象能力分为三个水平，对本次教学实践研究具有借鉴意义。
（一）范希尔几何思维水平理论
20世纪50年代，荷兰的几何教学面临着一些普遍的问题。而这些问题，范希尔夫妇作为一线的数学教师，他们每天都会亲身经历着。他们觉得往往学生的思维水平跟不上教材中的问题和专业表达，因此也就跟不上作业所需要的知识，这样的困惑使得他们开始关注皮亚杰的工作。经过一段时间的研究，他们提出了几何思维的五个水平，这一研究成果最初发表在他们夫妇1957年在乌特勒克大学共同完成的博士论文上。几何思维水平划分如下：
0级水平，即直观水平。学生通过图形的整体轮廓辨认图形，能画图或仿画图形，但是不能通过图形的性质特征和要素来认识图形。例如，学生会因为一个物体看起来像月亮而说它是圆形。
1级水平，即分析水平。这一阶段学生有了一定的分析能力，能够分析图形的组成要素和特征，能够利用特性解决几何问题，但是无法了解图形的定义以及图形的性质之间的关系。
2级水平，即抽象水平。这一阶段学生具有了一定的抽象思维以及迁移和想象能力，能够认识到图形的各个性质之间的关系，如三角形的内角越大则对边越长。
3级水平，即演绎水平。学生了解到了证明的重要性，并能用已知定理命题证明新的命题，
4级水平，即严谨水平。在这个层次，学生能在不同的公理系统下严谨地建立定理，以分析比较不同的几何系统，如欧式几何和非欧几何的比较。
范希尔几何思维水平是较早地对直观几何以及学生的直观思维进行分层研究的一个理论。直观想象能力中需要学生具有一定的直观化能力，并且直观想象能力离不开几何思维。常见的直观想象分为两种：第一将代数转化为几何，第二将几何转化为代数。因此，研究学生的几何思维水平是很有必要的。
（二）霍弗直观化能力五级水平理论
霍弗认为学生必须具有一定的直观化能力来解决几何证明，因此学生需要对图形和操作性的工具多进行一些探索。霍弗构建了一个框架，即用数学教学中出现的具体实例表明直观化能力在直观化能力发展的五个水平上的表现，见表6—1。(https://www.xing528.com)
表6—1 直观化能力五级水平划分
霍弗的直观化能力五级水平理论对于学生的平面几何以及立体几何方面的各个发展水平以及表现进行分类，对于高中需要用到图形和操作性工具（如立体几何和平面向量章节部分）的教学具有借鉴意义。
（三）其他有关数学直观想象能力水平理论
李秉德教授认为，教学时可以利用几何直观的手段来使学生掌握抽象的知识，在选择教学手段时要根据学生的年龄、智能、现有水平等状况将其分成不同的等级层次。学生在不同的年龄层次所包含的抽象成分和具体成分所占的比例各不相同。李秉德教授认为，在学生的发展过程中，随着年级的升高，抽象成分占比越来越大而具体成分占比越来越少，但是具体成分的占比仍然大量存在，因此学生的这种思维规律决定了教学中要重视直观性原则。
李秉德教授提出的这一关系理论启示教师在高中的教学中，随着学生年龄的增长，抽象成分比重逐渐增加，但是具体成分依然占据相当一部分比例，但是这个理论只是给出了一个定性的分析，并没有给出具体的参考比例，因此还需要教师在实践中自己根据学生的学情自己把控。
殷殿宇借鉴前人研究理论分析，通过分析对比将中学生数学学习的几何直观能力划分为如下三个水平：
水平1：学生能在自己熟悉的情境中将数学概念和规则直接抽象出来，能够通过演绎的方式从特殊归纳到一般的数学命题，能够通过模仿已经掌握的数学方法进行简单问题的解决。能够解释数学的概念和规则，了解数学命题的条件与结论，能够将数学问题从熟悉的情境中抽象出来。能够了解数学化的推理和论证，能够在相似问题的解决中感悟数学通性通法的重要性，并体会其中蕴含的数学思想。
水平2：能够在相互关联的情境中将普遍的数学概念和规则抽象出来，能够将已知命题推广开去，能够在未知的情境中合理选用并用该数学方法解决问题。能够运用确切的例子对抽象的数学概念和规则进行解释，理解数学命题的条件与结论。能够理解数学知识之间的联系，并进一步地能够自己构建。能够理解数学化的概念、规则、推理和论证。能够概括出一类问题的通性通法，体会其中的数学思想。在数学交流时，能够对具体现象进行数学解释。
水平3：能够将综合情境中的数学问题抽象出来，并用进行数学化表达；能够在已知结论上得出新数学命题；能够创造性地解决具体的数学问题。能够理解数学的抽象结构，能够感悟高概括性的数学知识体系。能在现实的问题情境中对数学特征把控并进行数学化表达，能够感悟数学原理的通性通法和其中蕴含的数学思想。在数学交流时，能对自然现象和社会现象用数学原理进行解释。
殷殿宇按照普通高中数学课程标准，在内容上将直观想象能力分割成函数及应用、向量与几何以及统计与概率三大领域；结构上按照直观想象的具体表现形式可以分成几何直观想象和代数直观想象。
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