数学认知结构与思想方法分析

（一）学生的数学认知结构影响其运算素养发展

数学认知结构也就是数学知识在学生头脑中的再现形式，是数学运算的基础，没有数学认知结构，就不能谈数学运算。数学知识形成一条知识链，如果在某一环节出问题，那学好数学就很难了。如果学生的数学认知结构不完善，那在解决数学问题的过程中就很难搜索有用的知识来解决相应的数学问题。所以说，要想学好数学，就要完善原有知识结构与新知识的联系，在对原有知识结构调整和改变的基础上，把新知识纳入原有认知结构中去，并形成新的认知结构，适应新的学习内容。如果学习者在接受、理解上有偏差或遗忘，会导致知识结构的不完善，那么就缺少固定的观念来与新的知识产生作用，导致新知识无法建构。

认知结构不太完善的高中生在处理信息和解决问题时，缺乏稳定而又灵活的解题思路，往往在解题过程中出现知识的脱节、断链，即通常所说的遗忘，就不能将新旧知识进行很好的内化，从而影响了知识顺利、正确地迁移和运用，更影响其运算的顺利进行。另外，有的学生概念结构层次不分明，没有形成一定的问题解决策略的观念，导致问题解决策略缺失，所以有些学生不清楚算理，不注意公式、定理成立的条件，机械地照搬公式或不顾运算结果盲目推演，缺乏选择合理简捷运算途径的意识，这也直接影响了学生运算素养的提高。学生具备一定的问题解决策略和一定的创造性思维，是学生具备良好的数学认知结构的重要特征之一。某一问题领域内的专家解决问题的能力之所以比新手强，重要的原因之一就是专家比新手的认知结构中有着更多的问题解决策略。因而，完善的、良好的数学认知结构中必须要包括一定的问题解决策略。而这不是一朝就能练成的，要在不断地学习中长期的反思、总结和提炼。在课堂教学中，教师对学生创造性思维的进行和成果的展示要有足够的耐心，要注意消除自身的急躁情绪对学生创造性思维的抑制。

（二）学生的个性认知特征影响其运算素养发展

数学运算素养是个性认知特征的一种表现形式。个性认知特征具有层次性和高低之分，并将这种区分具体变现为数学思维品质的特点。数学思维品质是指人的数学思维的个性特征，包括深刻性、灵活性、独创性、批判性、敏捷性等五个方面。根据这五方面的特征，数学运算素养的要求大概分为以下几个层次：基本要求——运算的准确性；较高要求——运算的合理性、简捷性、迅速性；高标准要求——运算的技巧性、灵活性。在思想上一定要充分认识运算素养的重要性，把运算技能上升到运算素养的层次上，把运算的技巧与发展思维融合在一起。学生运算素养不强，往往与学生思维品质密切相关，思维的严密性、灵活性、逆向性等品质对学生的运算素养有较大的正面影响。在作业或者考试中，有些学生自己会做的题目，却总是出错，或者虽然结果正确，但是方法却很烦琐。

在数算中，学生普遍存在着按某种固有模式进行思维的机械行为，通常将这一机械行为称为运算中的习惯特征。它是一种认知障碍，会影响学生成功地获得正确运算策略，数学智力发展水平较低的学生往往会在做数学运算时出现这种习惯特征。这种习惯特征在不同学生身上表现的程度不同。

（三）学生的数学思想方法对其运算素养发展的影响

数学运算素养成分包含着数学思想和方法的运用能力，数学思想方法的运用在很大程度上影响着数学运算的正确性与简洁性。同时其也是学生运算发展能力的基础，我们只有清楚地了解数学基本思想方法，才能开阔思路，为运算指明正确的方向，使运算顺利进行下去。基本的数学思想方法是学生运算素养发展的基础。如果学生掌握的数学思想方法不全面，或不熟练，都会影响学生正确的解题，遇到具体的题会感到无从下手。因此，数学思想方法掌握不到位会影响学生的数学运算素养的发展。

掌握数学思想方法可以为我们提供解题思路，达到事半功倍的效果。但是现实教学中个别教师这方面的教学意识性比较淡薄，忽视在教学环节中加入数学思想方法的学习。学生在学习时往往会忽视对数学思想方法的重视，主要表现在：偏重于较低层次的具体知识、技能的学习训练，而忽视数学思想方法的学习；注重知识的结论，而削弱了知识形成过程中思想方法的训练；知识应用时，又偏重于就题论题，忽视数学思想方法的解释与提炼；小结复习时，只注重知识的系统整理，忽视数学思想方法的归纳总结提高等。因此，当学生对数学思想方法掌握得极不全面，或者当学生不能熟练地运用数学思想方法时，都将影响学生解题的正确率，还会使学生在面对一道具体的题目时，不知道该从何处下手，从而影响高中生数学运算素养的提高。

（四）学生的数学思维影响其运算素养的发展

1.影响高中生数学运算素养的常见数学思维因素

通过对高中生数学思维的基本特点进行分析，可以得知高中生思维暴露的缺点阻碍了运算素养的发展，下面具体分析影响高中生数学运算素养发展的几种数学思维因素。

（1）数学思维中的缜密思维

缜密思维要求数学运算过程要严谨，运算的每一步要合乎算理，注重思维的深刻性与严谨性，从而保证整个数学运算过程符合数学逻辑。学生在解题时要认真审题，弄清题目的已知条件和要求的问题，特别要注意挖掘题目的隐含条件，选择合乎逻辑的运算方法，一步一步有理有据地进行运算。运算过程随时校对，运算结束时进行检查。特别是对待那些似曾相识的问题，要克服“想当然”，养成缜密思维的习惯，确保运算正确。

（2）数学思维中的整体思维

在数学运算中有时不容易或者根本无法求出题目中的各个量时，可以避开这些，把一部分看作一个整体来考虑，可以简化运算，提高运算效率。

（3）数学思维中的逆向思维

有时按照常规思路从正面一步步进行数学运算较为烦琐，而反过来后豁然开朗、思路明确、运算简单，效果事半功倍。如果学生的数学思维非常流畅，头脑中的思路就会灵活多变，正向思维不易解决问题时就会考虑到逆向思维。

（4）数学思维中的发散思维

数学运算中不能机械地照搬公式，而要因题制宜，灵活多变，善于分析题目条件信息，灵活地调整思维，横向展开联想，多角度分析问题，采取灵活的运算方法简化运算，提高运算的正确率和速度。

（5）数学思维中的创造思维

数学运算中有时碰到新异情况或困难无法解决，能以发散思维为基础，展开联想，积极构造，采取非常规的做法来解决问题，表现为数学思维具有创造性。

我们都熟知《司马光砸缸》和《曹冲称象》的故事，他们考虑问题时有标新立异的构思，解决问题时有别出心裁的方法。今天我们解决许多数学问题时都需要这种创新思维，即根据题目的特点，能用非常规的方法去思考、分析，简捷而合理地求出问题的答案。

（6）数学思维中的直觉思维

直觉思维，是指当遇到一个问题时，不经过逻辑推断，在大脑中瞬间产生的判断以及猜测，或者对某个问题一直不能解决，但在某一时刻突然茅塞顿开，还有的能“预言”未来。直觉思维的形成是在已有知识的基础上形成的，并不是瞎猜乱想。直觉思维是一种心理反应，它是创造性思维的前提条件。直觉思维的形成有利于创造性思维的形成，很多时候创造性思维是直觉思维的产物。直觉思维与逻辑思维是思维的两种形式，表面上看二者好像矛盾，其实密不可分。在某种程度上，直觉思维就是逻辑思维的缩影，而逻辑思维是直觉思维的进一步发展。

2.影响高中生数学运算素养发展的数学思维障碍

（1）思维单一性障碍

从信息源提取上分析，解决某类问题的过程中，一般学生的信息源提取是并不完善的，探究问题的出发点仅停留在某种形式或内容上，不善于变化，或是没有多角度地去思考问题，遇变、求变的情理准备不足，由此造成思维障碍。(www.xing528.com)

第一，学生在分析和解决数学问题时，往往只顺着事物的发展过程去思考问题，注重由因到果的思维习惯。思维不全面，不注重变换思维的方式，缺乏沿着多方面去探索解决问题的途径和方法。

第二，学生往往善于处理一些直观的或熟悉的数学问题，而对那些不具体的、抽象的数学问题常常抓不住其本质，各个知识间的应用缺乏联系，缺少整体意识，对数学思想方法缺少共性和个性认识。这会导致思路狭窄，影响知识的掌握。

第三，高中生具体形象思维较重，缺乏足够的抽象思维能力，这主要是因为高中生的年龄小，虽然其求知欲望很旺盛，而且思维也比较活跃，但是他们对事物的认知还停留在直观的认识上，遇到抽象的问题无法解答时就会表现出疑惑，并且解题时一味套用公式，变通性和应变性严重不足。

第三，数学知识体系的综合性特点要求学生思维要有一定的广度，必须用全面的、综合的观点看问题，但是学生的思维品质在这方面往往表现出很大的局限性。他们常常用片面孤立的观点看问题，不会把所学的数学知识融会贯通，综合运用，只会生搬硬套，因而往往抓住了问题的某一方面，而又忽视了其他方面。长此以往，抓不住关键环节，形不成思维中心，造成思维混乱。

第四，学生对基础概念和定理存在片面理解和记忆，从而不能熟练地运用所学的数学概念、方法进行分析推理，对一些问题中的结论缺乏多角度的分析和判断，缺乏对自我思维进程的调控，从而造成障碍。

数学概念、公式和法则在数学中都是非常重要的，它们是分析数学问题和解决数学问题的依据和准则，只有掌握了它们，才能顺利地分析问题和解决问题。基本概念、法则、公式是解决所有数学问题的基础，概念、法则、公式记不清楚，哪怕知道解题思路，也不能解决问题。俗话说，万丈高楼平地起，如果地基不扎实，就不可能出现高楼。数学学习也是一样，如果概念、公式、法则等不理解、记不清，数学问题就不能得到很好的解决。思路固然重要，但有思路没有概念、公式、法则等的支撑，就不可能完整地解决实际问题。

（2）知识结构断链障碍

知识结构断链其实也就是我们日常所说的“遗忘”，指的是知识之间没有形成连通的网络，新旧知识之间出现了断裂，从而影响知识的顺畅、正确运用和迁移。

所谓非人为的联系，是指新知识与原有认知结构中有关观念建立合乎逻辑的联系。实质性联系是指新的代表观念与学习者认知结构中已有的表象、有意义的符号、概念或命题的联系。这种联系要求学习者心理内部对知识的表征或赋予意义与知识的客观意义，应建立一种合乎逻辑的“等价关系”，否则必然会出现知识断链。例如，很多学生记不住公式，其根本原因就是未能建立公式与基本概念等知识点之间的联系，而是孤立地、形式地、单纯地死背公式。

所以说，知识断链，一方面是由于新知识未能归入原有认知结构。有些高中生在学习的过程中不注意知识、方法的积累，不善于对已经学过的知识做系统的归纳和整理，数学的概念、法则、定理、性质等方面的知识有很多缺漏，这就会给数学思维造成障碍。另一方面可能是，虽然学习了新知识，但未能使原有认知结构得到重组和改善，因而致使学习形式化、知识表面化。对同一数学概念的不同表达形式缺乏概括的理解，使原认知结构无法有效同化新知识。如学生对邻近概念辨别不清，不明确该概念与其上位下位概念的联系与区别，不能将新知识整合到原有的知识结构中。

（3）思维定式障碍

思维定式是心理学中的一个概念，它指的是一种思维的惯性，即人们长期形成的一种习惯的思维方式，或者说人们按习惯了的比较固定的思路去思考问题和解决问题的一种形式。许多情况下，思维定式表现为思维的趋向性或专注性，其有积极的一面，也有消极的一面。在数学学习的初始阶段，常常需要用到积极的思维定式帮助学生掌握某种新知识，但是在高中经过一段时间的学习，形成一定的解题经验后，个别学生往往对自己的某些看法深信不疑，很难使其放弃一些陈旧的解题经验，思维陷入僵化状态，不能根据新的问题的特点做出灵活的反应，常常阻碍更合理有效的思维，甚至造成歪曲的认识，容易产生视而不见和先入为主两种具体的思维障碍。

视而不见指的是对于熟知的概念、图形、解题方法，在掌握了它们的常用功能以后，会形成一定的趋向性和依赖性，这时学生对于新题目或者新知识在新的条件下是怎样转化的，通常就会视而不见，从而呈现出思维的任性化。当新旧问题形似质异时，思维的定式往往会使解题者步入误区，从而导致其出现思维障碍，表现为不能实现数学知识的灵活运用与有效迁移。

在数学学习过程中，学生容易受先入为主的支配，而且这种先入为主，有的是学生不自觉地在心中总结出来的，有的是部分教师过于强调某些不该定型下来的东西所造成的。还表现为已有思维对新思路的干扰。学生在以往的学习中，获得解题的方法，由于多次练习已经在他们的知识系统中固定下来，他们在学习新知识、解决新问题时，往往和这些稳固下来的方法直接联系起来，干扰、影响着新思路的形成。

（4）分割、孤立障碍

分割与孤立障碍指的是将问题分割成几个子问题后，却不能将子问题排成一个有利解题的顺序，而造成解决困难。

在问题解决中，恰当的问题识别与分割是非常重要的。一个数学问题，本来就是由几个小问题衔接、拼合、组装而成的，解答时就需要在想象中把问题重新分割开来，一个一个独立出来，并排列成一个对于求解有利的顺序，然后一个个地解下去。

然而，并不是所有的解题者都能将其分割，进而排列成有利解题顺序，尤其是在几何问题解决中表现得尤为明显。有些学生在看到一个线条较多的图形时，眼中所见与头脑中所显的，只能是乱糟糟的一张蜘蛛网，理不出头绪，思维也就无从下手与展开。

建构主义认为，人类知识经验有两类，即结构不良领域和结构良好领域。结构不良领域有以下两个特点：一是知识应用的每个实例中，都包含许多应用广泛的概念在相互作用，即概念的复杂性；二是同类的各个具体实例之间，所涉及的概念及其相互作用的模式有很大差别，即实例之间的差异性。结构良好领域的知识经验一般是指规范的，有内在逻辑联系的，从多种情境中抽象出来的学科的基本概念、原理和方法。在将学科课本中结构良好领域的知识经验应用于具体情境时，便会产生结构不良的特征，即在解决具体问题时，课本知识并非拿来即用，一用即灵的，从而使思维受挫，发生困难。

（5）思维惰性障碍

学生由于长期形成的松散、懒惰的坏习惯，害怕艰苦的脑力劳动，缺乏毅力，对看似难以逾越的困难退缩不前，丧失前进的勇气和信心。表现出不良行为习惯的一种意志薄弱的心理缺陷，由此导致的思维障碍，我们称之为思维惰性。

高中生思维惰性的形成在三个方面较为典型。第一个方面是许多学生在数学学习中，有很强的依赖心理，跟随教师惯性运转，没有掌握学习主动权。不会定计划，而是坐等上课，期望教师对数学问题进行归纳概括并分门别类地一一讲述，突出重点、难点和关键期望教师提供详尽的解题示范，便于自己一步一步地模仿硬套。第二个方面是高中生会自觉或者不自觉地对直观形象过于依赖。当对思考对象不能寻求解释时，便犹豫丛生，表现出理论性抽象思维能力的贫乏。第三个方面是高中生对既有思维模式的依赖。遇到一个问题，只期望用现成模式，否则便一筹莫展、束手无策。这反映出思维的变通性和创造性差的严重缺陷。

思维的惰性在高中生的数学学习中多表现为，学生厌倦数学、排斥数学，甚至产生抵触心理，并采取消极的行为，为自己找理由，自觉或不自觉地给自己的思维设置了障碍或陷阱。研究表明，许多学生就是这种“怕”的心理障碍才导致学习成绩上不去，甚至使学习越来越困难。可见，这种“怕”思维对学生数学运算素养的培养和提高有着严重的负面影响。

（6）情绪型障碍

心理学的研究表明，情绪与解决问题有密切关系，情绪的焦虑程度与学习成绩的关系呈倒U型曲线。适中的焦虑程度将有助于问题的解决，而焦虑程度过高或过低均不能表现良好的解题能力，我们把由此造成的思维障碍称为情绪型障碍。

数学困难学生由于失败太多而焦虑程度过高，造成思维障碍。情绪型障碍一般表现为对学习缺乏积极情感体验和学习中情绪起伏，由于情绪不健康，导致学习动机水平下降，阻碍学生学习能力的发挥。学生遇到思维受阻的情况往往极易烦躁不安，他们又急于尝试，尝试失败，加剧了急躁的情绪，导致思维混乱而告失败。

情感是人们内心对外界事物所抱有的肯定或否定态度的体现。能满足或符合人的需要的事物就会引起人的积极态度，使人产生一种肯定的情感，反之就会引起人的消极态度，产生一种否定的情感。受情绪障碍的影响，思维、记忆等认知机能就会受到压抑、阻碍，导致学习效率降低。受情绪障碍的影响，数学思维不能正常进行。个别学生一受到不良的刺激或一遇见陌生的题目情绪就会过度紧张、心理失衡，最后因思维混乱而导致数学运算和解题受挫。