高中数学建模：概念与应用

（一）模型、数学模型与数学建模

模型是指具有与原型相似特征的替代物，是系统或过程的简化、抽象和类比表示，可以理解为采用某种形式近似的描述或者模拟研究者所要研究的对象或过程的一种做法。数学模型就是指参照某种事物系统的特征将问题数学化，用数学语言概括的或近似地表达为一个数学结构。广义上来讲，数学模型就是来源于现实世界并抽象于现实世界，是对客观事物的一些属性的近似解释与说明。比如数学中的概念、定理、公式法则等，都可以当作数学模型。在《普通高中数学课程标准（2017年版）》中也详细给出了一些基于数学知识表达常见数学模型，包括线性模型、二次曲线模型，指数函数、三角函数等模型。这类数学模型的命名方式是直接利用数学知识的名字进行的，说明该部分模型是较为抽象的，可以称作知识数学模型。

从狭义上讲，只有反映特定问题或者特定事物的数学结构才叫数学模型。课程标准中，在数学建模环节也给出了常见的经济数学模型和社会数学模型，这两部分的数学模型包括存贷款模型、投入产出模型、凯恩斯模型等，与前面的模型命名比较来看，这部分模型更多的是与生活相关。

当然，数学模型还有更多的分类标准，但是由以上两种不同类型的数学模型就可以看出，数学模型是一种静态的，已经成型的数学结构，而数学建模则是一个动态的解决问题的过程。在解决生活问题时，往往不能直接就现实材料进行处理，一般是先通过必要的抽象与简化，建立数学模型，得到一个数学结构，将问题数学化，解决之后又验证到生活中去，这整个过程就是数学建模。可见，在数学建模中数学模型是一种工具、一种解决问题的手段，且在建模中，模型的选定或者建立是建模教学中的重难点，是解决问题的核心与关键，在问题解决后可能会建立新的数学模型。

（二）问题解决、解应用题和数学建模

能够利用数学知识解决生活和学习中的问题是数学的基础。问题解决的核心是问题，与数学相关的问题，有各种各样的分类。我们按照与数学建模相关的思路进行分类，问题大致可以分为两类：第一类是为了学习或者巩固数学知识，由教师或其他教育工作者编写的与数学知识直接相关的问题。第二类主要是指非数学领域，但是想要解决问题却需要利用数学的方法。这类问题促进数学的发展，比如物理学、生物学中常见的问题，需要数学的方法进行分析与处理。

我国古代的传统数学是很讲究应用的，如在九章算术中就有很多问题，如方田、粟米等，大部分都是应用题，且有着丰富的生活背景，这些都是最基础的数学应用。数学建模主要针对的是第二类问题，这种问题可能是已知条件很少，并且模糊不清，这也是数学建模的重难点。

所以解应用题相对于数学建模而言，问题往往会过于典型，只能是建模的一些分支或者缩影，并不能体现数学建模，尽管数学建模的对象有很多是应用题。数学建模的重点是建模模型的过程，而不是问题本身的解决。

（三）数学建模的过程(www.xing528.com)

数学建模的过程是一个问题解决的过程，但是一般情况下数学建模也是多次循环的过程。在课程标准出版之前也有很多专家教授研究和总结过数学建模的过程，参考多方资料，总结数学建模解决问题的一般步骤。

一是实际生活情境（发现问题）。本部分主要是建模的背景，一般是生活中有待解决的问题，发现此问题，将其提出来作为建模的材料，主要是表征问题，明白问题的背景。在中学数学建模教学中一般是由教师提出。如果这部分是由学生独立发现，则可以提高学生学习的自主性，或者是发现问题的素养。

二是提出问题。这是生活问题数学化的过程，将第一步发现的问题，弄清背景、意义和需解决的问题本身，并试图用数学的语言、公式或者文字来描述。去掉无用信息，将问题简化为数学问题，能初步确定部分变量、未知量。

三是建立模型。在上一步找出变量未知量的基础上，能够建立各个量之间的关系，并能用数学的语言表达出来，组成数学关系式，并且确认此模型是可以进行实验或者检测的。

四是求解模型。此环节相当于数学中的解应用题环节，在已经知道关系式，运用已经学过的数学知识进行推理、简化、计算、分析等环节，通过数据的处理、运算与分析，找出可能的结果。结果可能不是唯一的。

五是检验结果。将得到的结果放到实际生活中去验证，检验是否合乎实际情况。如果是，那么建模解决问题基本结束；如果不合乎实际，则可能要回到第二步，重新建立新的数学模型，再进行一轮，直到结果合乎实际情况。

六是分析与评价。问题解决并不是数学建模的结束，还需要对建模的活动进行分析与评价，讨论在此过程中出现的问题与改进措施。