基于逻辑推理素养的高中数学教学案例分析

“余弦定理”教学设计

【教学目标】

1.知识与技能

掌握余弦定理的两种表现形式，会用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.过程与方法

通过创设问题情境，引导学生通过观察、比较等思维过程，推导出余弦定理，培养学生观察与逻辑推理能力。通过提问，引发学生思考，以暴露学生推理的思维过程，进而发展他们的逻辑思维。

3.情感、态度与价值观

在证明过程中，体会不同的证明方法之间的差异性，培养学生多角度认识问题的习惯。

【教学重点】

探究和证明余弦定理的过程；理解掌握余弦定理的内容；初步对余弦定理进行应用。

【教学难点】

以直角三角形为突破口和利用向量法推导余弦定理的思路。

【学情分析】

在学习本节课之前，学生已经学习了正弦定理的内容，初步掌握了正弦定理的证明及应用，并明确了用正弦定理可以来解哪些类型的三角形。

【教学方式】

问题导引式：通过精心设计的问题，激发学生的学习兴趣和动机，使学生产生疑而未解，又欲解之的强烈愿望，调动学生学习的积极性和主动性。

【教学手段】

多媒体辅助教学。

【教学过程】

（一）复习旧知

师：上节课学习了正弦定理，它可以用来解哪种类型的三角形问题呢？

学生回答，教师板书重点内容并进行补充说明。

（二）创设情境

师：上节课，为了不过河就能知道河流两岸的两位置的距离问题，通过构造出一个三角形，测量出两个内角和一个边长，然后引出了正弦定理来解决问题。水的问题解决之后，我们一起再来看个关于“山”的问题。

情境：施工队为了开凿一条山地隧道，需提前求出这条隧道的长度。由于山峰的曲折性，他们并不能直接测量得到。为了解决问题，他们在外面视野开阔的平地上选取了一点，如图3—1，思考：在△ABC中，哪几个量是可以测量得到的呢？

图3-1　示意图

学生能回答出AC，BC的长度，但可能想不到∠C，教师进行补充，由于山峰的高度阻挡视线，故只能用经纬仪测得∠C的大小，另两个角的大小无法进行测量。

师：问题就变成了“在△ABC中，已知边长AC，BC以及他们的夹角∠C的大小，求边长AB”。

思考：这个问题可以用上节课学过的“正弦定理”来解决吗？

通过思考，学生较容易发现用正弦定理不能解决问题。(https://www.xing528.com)

设计意图：通过创设问题情境，并且从上节课的情境中引入，符合学生“最近发展区”的特点，容易引发学生的思考。同时，创设问题情境，通过由简到难的问题，暴露其思维活动的过程，从而帮助教师把握课堂节奏，有效组织教学。

（三）新课探究

师：既然正弦定理并不能解决这个问题，那我们一起来探究其他的方法。

思考：这个问题有没有一种特殊情况呢，比如∠C的特殊情况？

学生较容易想到当∠C=90°时，可使用勾股定理c2=a2+b2。

师：如果∠C=90°，当∠C固定时，AB的长度是否固定不变呢？

学生可能回答是，但说不出原因，教师补充“两边及其夹角可以确定一个三角形”。

活动：推导三角形的余弦定理公式

师：上节课，在推导正弦定理的公式时，也是先研究直角三角形，接下来分别在锐角三角形和钝角三角形中构造直角三角形进行推导。本节课，我们不妨类比这种研究方法，下面先独立思考，然后小组内进行讨论。

找学生回答，教师在黑板上板书推导过程，注意书写规范，同时教师注意学生回答问题的逻辑性，以及数学语言使用是否准确，及时进行纠正。

如果学生完成不了，教师演示锐角三角形的推导过程，然后让学生类比着进行对钝角三角形的推导。

设计意图：无论是学生根据上节课的推导过程独立完成，还是教师给出一种情况的答案后学生类比推导，两种情况都有助于培养学生类比推理的意识，从而培养学生的逻辑推理素养。

（四）新课讲解

师：通过上面的探究与证明过程，我们得到在△ABC中，c2=a2+b2-2abcosC.

事实上，轮换∠A，∠B，∠C的位置可以得到：

a2=b2+c2-2bccosA

b2=a2+c2-2accosB

c2=a2+b2-2abcosC

于是，我们就得到了关于解三角形的另一个重要的定理——余弦定理，即三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

应用余弦定理，就可以从已知的两边和夹角计算出三角形的第三边。

思考：勾股定理反映的是直角三角形三条边长的平方之间的关系，余弦定理则指出了一般的三角形中三条边长平方之间的关系，那么这两个定理之间有什么关系呢？

事实上，余弦定理可以看作勾股定理的一个推广，是勾股定理更一般的表达。将余弦定理和上一节所学的正弦定理结合起来，就可以更全面地解决三角形的问题。

设计意图：根据前面的推导与证明过程，顺势引入并讲解本节课的核心知识点。本堂课是命题教学，是对基本定理的学习，掌握扎实的基础知识是培养逻辑推理素养的前提，因此教师在该环节要仔细讲解，以助于学生理解记忆。教师还需注意正确使用数学语言，潜移默化地教导学生。

（五）反思与布置作业

师：通过以上的研究过程，同学们主要学到了哪些知识和方法？你对此有何体会？（先由学生回答总结，教师适时的补充完善）

布置作业：思考还有没有其他的推导证明余弦定理的方法。

【设计反思】

由于时间的限制，这个教学设计没能真正地在数学课堂中实施，这也是本环节的不足之处。因此，本部分主要说明“余弦定理”这堂课如何体现出对逻辑推理素养的培养。

首先，本节课程属于命题教学，所以它的整个学习流程是从问题情境出发，通过猜想、归纳等思维方法，最后用严格的证明推导出余弦定理公式。前面的猜想过程主要是归纳推理，后面的证明则体现出严格的演绎推理，因此本节课从整体上可以培养学生的逻辑推理思维，从而潜移默化地将其发展为一种数学素养。

其次，本堂课中多次引导学生发散思维，从不同角度思考问题，寻找多种解决方法。比如用传统的几何方法和向量法推导公式，以及在新课巩固环节除了使用余弦定理外，还可以使用正弦定理来解决问题。发散学生的思维，进而培养学生多角度思考问题的习惯，这对培养学生的逻辑推理素养是有益的。

最后，本节课是严谨的数学定理课，可以帮助学生正确使用数学语言，表达严谨，从而锤炼严谨的数学语言。在推导证明过程中还启发学生使用类比方法进行思考证明，这些都有助于培养学生的逻辑推理素养。