逻辑推理的分类：演绎推理与合情推理

对数学学科来说，逻辑推理有着不可替代的作用。从数学学科的发展来看，可以发现，许多数学史上伟大的成就，都是源于数学家们凭借大胆假设小心求证的历程获得的。

著名的数学家、数学教育家波利亚也有相似的观点，他总结到，数学有两个侧面，一方面它是非常严谨的科学，从这个方面看，数学是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学，看起来更像一门实验性的归纳科学。

而本书中所提到的逻辑推理，恰恰就包含了这两类推理形式，分别为演绎推理与合情推理。对于二者的定义，高中课标对它们有明确的阐释：推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。

（一）合情推理

对于合情推理的定义，本书中采用史宁中教授的观点，即从经验和概念出发，按照某些法则所进行的，前提与结论之间有或然联系的推理。史宁中教授的《数学思想概论》中的归纳推理，实质上就是波利亚提出的合情推理。由合情推理的定义可知，由合情推理得到的结论，不一定是正确的。

对于合情推理的分类，大多数学者都只分为归纳和类比。本书采用史宁中教授的观点，将合情推理分为三种，即归纳、类比和统计推断。下面笔者分别对这三种合情推理进行论述。

1.归纳推理

归纳推理是由个别性的前提得到一般性的结论的推理。归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题，它的结论所断定的知识范围远远超出了前提的知识范围，所以归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的。也就是说，归纳推理是合情的或然推理，即其结论不一定为真，必须加以证明或者反驳。

史宁中在《数学思想概论（第4辑）》一书中这样描述归纳推理：“从经验和概念出发，按照某些法则所进行的，前提与结论之间有或然联系的推理。”他认为归纳推理具有特殊的灵活性，可以从事物的现实出发对其过去或者未来进行推断。而推断是人们能够创造的基本思维方式。归纳推理的本质在于从过去的经验推断没有的经验，从事物的过去和现在推断其未来。

纽伯特（Neubert）和宾科（Binko）将数学中的归纳推理与数字和数字之间的模式和关系联系起来。这个想法可以追溯到波利亚的研究，他将归纳推理定义为允许我们获取科学知识的自然推理。他还将数学教学中的归纳推理视为一种从现象中发现属性和用逻辑方式发现规律的方法。波利亚认为，归纳推理作为一种方法主要涉及四个步骤，即特殊案例的经验、猜想的制订、猜想证明和新的特殊案例的验证。

实质上就是基于一个类的推理，通过观察以及分析，发现这个类中的事物都具有某一个性质，于是得出结论：这个类中的所有事物全部具有这个性质。我们通常讨论的归纳都是不完全归纳。一个类A中有元素a1，a2...an，这一个性质表示为B。归纳的模式可以表述为：a1∈A，a1→B；a2∈A，a2→B；an∈A，an→B；a∈A，a→B。

因为我们是根据A中的部分元素，推导出所有元素所具有的性质，所以得到的结论是不一定正确的，也就是或然的。

在数学中，归纳法按照研究对象的完全，可以分为完全归纳法与不完全归纳法。完全归纳法是根据某类事物中的每一事物都具有某种性质，从而得到该类事物都具有这种性质的一般性结论的归纳推理方法；不完全归纳法是根据某类事物的部分对象具有某种性质，从而推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的归纳推理方法。

归纳推理被认为是数学教育最重要的目标之一，因为它在数学学习和解决问题的情况中扮演着重要的角色。

2.类比推理

“类比”源于希腊文“analogia”，原意之一为“比例”。类比推理是个别性的前提得到个别性的结论，或由一般性的前提得到一般性的结论。有的逻辑学著作中类比推理被看作类似现象的根据，而其他逻辑学著作中把类比推理看作一种特殊的归纳推理。但这两种推理方式之间是存在差别的，应该把类比推理作为非演绎推理的一种特殊形式来看待。

实质上就是基于两个类的推理，从本质上来讲，其实是对一个类中事物的性质进行的推理，只是在推理的过程中参照另一个类事物的相关性质。类比是其中最主要的方法。观察到两个或两类事物在很多属性上是相同的，便得出它们在别的属性上也应该是一样的结论，这样的方法就是类比法。(www.xing528.com)

在这里要说明一点，这里所说的类比，不是同时去比较两类事物的属性，而是将其中一类事物的已知属性列为参照，转而得到这样的结论：另一类事物也具有这样类似的属性。与归纳相似，类比得到的结论也不一定是正确的。

与归纳推理和演绎推理相比，类比推理的思维方向表现为从个别到个别，或从普遍到普遍，其适用范围更广泛，而且类比推理的结论受前提的制约程度较低。杰出的天文学家、物理学家、数学家开普勒曾经提出，“我珍视类比胜过任何东西，它是我最可信的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中，它应该说是最不容忽视的”。

类比推理的结论范围超出前提的范围，即它并没有被前提覆盖，也就是说前提为真时，结论也可能是假的。所以，类比推理是一种或然性推理。为了提高类比推理结论的可靠性，在实际应用类比推理时，首先要在前提中用来类比的相同属性的数量要尽可能多；其次前提中确认的相同属性应尽可能是事物的本质属性；最后在前提中确认的相同属性和结论中推出的属性之间要有联系，不能毫不相关。正因为类比推理的结论超越前提的范围，可以为人类提供新的知识，它在人类的发展进程中发挥着重要的作用。类比推理不仅可以为人们认识事物提供途径，也是创造性思维的重要方法，科学史上许多发明创造都借助于类比推理，同时它还是人们进行论证或说明的一种重要手段。比如类比推理原则在近代科技发明中应用得非常成功，“近代仿生学”就是建立在类比推理的原则上，如见到燕子的飞翔想到设计滑翔机，看到鱼的浮沉想到设计潜水艇，观察到蚕吐丝想到发明人造丝工程等，这些都是工程科学上的大发明。在数学研究中常用的类比有数与形的类比、特殊与一般的类比、平面与空间的类比、有限与无限的类比等。比如说可以通过三角函数的研究来探讨有关图形的性质，通过圆的研究来类比得到空间中球的有关性质等。

3.统计推断

我们常常关心的更多是那些结果可能是必然的推理，但是在现实生活中，往往有很多的事物，结果发生与否并不具有必然性，而是以某种可能性发生的。比如，日用品及房屋的价格、流行病的传播、疾病的确诊等。这些事情的某种结果的发生与否，甚至是发生的程度都不是必然的，而是或然的。显然，这种思维方式背离了经典意义上的基础数学，因为传统数学中，教师对学生的要求是数学是严谨的，数学中的命题不是正确的就是错误的，也就是说，命题是严格遵守排中律的。但是在现实生活中，结论发生与否是或然的推理具有很大的现实意义。比如，虽然知道乘车可能会出车祸，人们依旧会乘车，这是因为人们都相信交通事故发生在自己身上的可能性很小。这种推理方式，就是统计归纳。统计推断，是根据某类对象的样本具有某属性，推出某类对象的全体都具有某种属性的推理方法。

很多教师没有意识到统计推断的归纳特点。史宁中教授强调，关于统计推断，因为许多教师还没有意识到统计学其实研究的是随机的、不确定性的事物或现象，是通过一些已有数据进行甄别给出决策，可以认为是通过部分来推断一般情形，因此统计推断本质上就是一种归纳推理。可以说，统计学是现今为止的使用归纳推理最为典型的一个学科。

（二）演绎推理

“演绎”来自拉丁文“deductio”，意为导出或引申。传统逻辑学认为演绎推理是从一般到特殊的推理，也就是从一般性的前提出发，通过推导，得到个别或特殊的结论。由于演绎推理是从一般到特殊的思维过程，其前提中一定蕴含着结论，所以其结论必然为真，即演绎推理是必然性推理。

克拉琴斯基（Klaczynski）和纳拉西姆（Narasimham）指出，演绎推理是指从“一般性的事实或前提”中得出的逻辑上必然的推论。唐云廷认为，演绎推理是由前提、结论和推理式三部分组成的。前提是已有的判断，即已有的新知；结论是推出的判断，即推出的新知；推理式是演绎推理的核心，即前提与结论之间的逻辑关系。而史宁中将数学中的演绎推理定义为“按照某些规定了的法则所进行的，前提与结论之间有必然联系的推理”。

演绎推理是数学论证表述的基本方法，这种方法在中学数学中有明显的体现，无论是教材的编排、教师的课堂教学，还是学生的解题过程，都在运用演绎推理，所以在数学的教学和学习过程中应当重视演绎推理。在数学中应用最多的就是三段论，即由两个判断（其中至少有一个是全称判断）得出第三个判断的一种推理方法。杜瓦尔（Duval）就曾提出，只有演绎推理可以被认为是数学上的逻辑推理。他将演绎推理描述为唯一可以将数学知识的认知价值从可能变为真实的推理形式。

所以演绎推理的定义为：从假设和定义出发，按照某些规定了的法则所进行的，前提与结论之间有必然联系的推理。又因为数学学科的特点，利用推理得到的结论通常可以分为两种，一种结论可以表述为一个命题，还有一种结论可以是一个运算结论。因此，数学中的演绎推理，大体就可以分为两部分，即命题推理和运算推理。

（三）演绎推理与归纳推理的区别和联系

演绎推理与归纳推理之间存在区别。首先，从思维进程的方向来说，演绎推理的前提是一般性的原则，整个推理过程是从一般推到特殊或个别；而归纳推理的前提是个别事物或现象，整个推理过程是从个别推到一般。其次，演绎推理中前提的含义包含了结论的含义，也就是说，前提制约了结论，结论不能超出前提的范围；而归纳推理中前提的含义没有包含结论的含义，也就是说结论超出了前提的范围。最后，演绎推理的前提与结论间存在必然性，只要前提是正确的，推理过程没有错误，那结论一定是正确的；而归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的。

演绎推理与归纳推理之间也存在联系。演绎推理和归纳推理都是人们认识客观事物过程中不可缺少的环节，若缺其一，就达不到认识事物的目的。而且演绎推理和归纳推理在人们的认识中互相联系、互相补充，没有归纳推理就没有演绎推理，同时归纳推理的结论又要依靠演绎推理来验证。

史宁中认为，从条件出发，借助归纳推理“预测”数学结果，借助演绎推理“验证”数学结果。演绎推理是基于“理念”的推理，它追求的是“形式”；归纳推理是基于“事实”的推理，它追求的是“实用”。莫里斯（Morris）认为归纳推理和演绎推理在数学推理中扮演着互补的角色，成熟的数学推理至少需要对归纳结论的不确定性、演绎论证的必要性和充分性以及每种论证和推理形式所起的互补作用有内在理解。