基于数学抽象素养的高中数学教学案例

（一）“函数的概念”的教学案例分析

【教材分析】

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修（A版）》的第一章 1.2.1函数的概念。函数概念是高中数学学习的核心概念之一，也是高中生普遍反映抽象难懂的知识之一。首先从课程安排来看，它贯穿于中学代数的始终，高中第一学期学习的内容主要也是围绕函数展开的，可见函数是初中数学和高中数学衔接的枢纽。从新课标的课程结构上来看，教材改革后函数也是作为预备知识之后的第一章来学习，此后的很多内容也是以函数为依据来展开。函数起着承上启下的作用，后面的不等式、数列和排列组合等内容都以函数为前置基础。因此，对函数概念的再认识是不可替代的。本节的内容较多，至少分两课时。本节为第一课时，其内容为函数的概念、函数的三要素、简单函数的定义域求法、函数值求法等。

【学情分析】

学生在初中已经学习过函数的概念，对函数及相关概念有初步了解。但初高中所学的函数有明显差别的。

定义之间是差别的。初中的函数定义为：如果在一个变化过程中有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数。这种“变量说”的概念多数是以生活中的两个变量为研究对象，如一天中气温随时间的变化而变化。其实，舍去现实背景，初中所学的函数也就是数与数之间的对应关系。

初中课本中明确规定函数的定义域一部分是受实际问题的影响取值，另一部分是通过解析式确定范围，但是把函数的定义域内容和函数的概念内容分开教学让学生认为定义域和函数概念是分离开的，而高中课本中明确定义域为函数三要素之一。所以学生即便已初步学习了函数的概念及相关知识，但仍需深化、改进和完善。

【设计理念】

1.体现“师为主导，生为主体的”教学理念

本堂课是概念课，教师根据学生已有的知识结构和认知发展规律，采用问题启发式教学法，以问题串的模式层层揭示具体情景中的数学问题，引导学生经历抽象的全过程，从而发现问题中两个变量的关系，最后归纳、理解函数概念的本质。

2.注重对学生思维的训练

问题之间是一环套一环的关系，学生凭借初中学习的函数知识难以解决问题，产生了认知矛盾，有助于其思维的碰撞和发散。让学生带着疑惑、和认知矛盾探索之后学习的内容，能迅速促进学生产生主动学习的意愿。为了帮助学生抽象归纳出函数的思想，借助对实际问题的探索、自我感悟，指引学生通过集合与相关的语言来描述函数关系。教师再以抛出问题的方法来启发学生思维；凭借重点指出和引导对于小问题的思路，给学生思考、领悟的空间，帮助学生注意到问题并归纳出它们的共同特点，培养了学生的抽象概括能力。

3.教学层次分明，简单直观

【课程类型】

新授课。

【教学目标】

1.知识与技能

（1）能够用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，会判断两个变量间的关系是否为函数。

（2）了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。

（3）会根据不同需要选择恰当的函数表示法（解析法、图像法和列表法）。

2.过程与方法

通过实例使学生能在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，抽象概括出函数关系，理解黎曼“对应说”的函数概念。认识引入抽象的函数概念的重要性，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。

3.情感态度价值观

（1）让学生体味从特殊到一般、数形结合的数学思想方法，培养学生观察、分析、归纳的抽象概括能力和逻辑思维能力。

（2）在实际问题抽象成函数问题的过程中，让学生感受抽象的全过程，加深学生对数学抽象素养的理解。

（3）在学习黎曼“对应说”的函数概念中学习数学文化、丰富数学素养、体会数学的博大精深。

【教学重点】

理解黎曼“对应说”的函数概念；理解抽象函数符号y=f（x），x∈D的意义；了解函数的三种表示方法。

【教学难点】

对抽象函数符号：y=f（x），x∈D的理解；将实际问题抽象概括为函数问题。

【教学过程】

1.回顾旧知，引出课题

师：我们在初中对函数是如何定义的？

师：在初中我们学习过哪些函数？

设计意图：要学习高中函数的概念，初中函数概念是必备的前置内容。通过对前置知识的复习，加快学生思维运转，为后面学习和理解高中函数概念与初中概念区别做必要的铺垫。

2.观察分析，探索新知

实例一：A城的居民用水按照下列标准收费，月用水量不超过10吨时按照2元/吨的价格收费；超过10吨而不超过30吨部分，按照3元/吨的价格收费。

（1）如果小赵家每月用水量x都不超过10吨，小赵家的月水费单价为y元。

（2）小赵家月交水费s元与月用水量x吨。

问题1：变量是什么？每月用水量x和月水费单y是变量吗？每月交水费s和月用水量x是变量吗？

问题2：变量是一个数，还是某些数？变量可以用什么方法表示？

问题3：你可以用你的方法表示出问题（1）和问题（2）中的变量吗？

问题4：y是x的函数吗？s是x的函数吗？

设计意图：承上启下。（1）中显然y=2x只有一个变量，不符合初中函数概念的“有两个变量”的条件。这就出现了逻辑矛盾，引发学生的认知冲突，引发深入思考，让学生体会“变量说”是有其局限性的。问题1、2、3让学生自主用数的集合表示变量。问题4让学生找到对应关系，推测函数在初中所学的基础上，由两变量之间的关系变为两数集的关系。

实例二：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数生活质量与生活质量成反比。表2—2中恩格尔系数随时间（年）变化的情况显示，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生显著变化。

表2—2　恩格尔系数变化情况

问题1：请描述恩格尔系数和时间的关系。

生：恩格尔系数和时间都可以用集合表示，分别记为A、B，并且对于A集合中的每一个时间t，在B集合中都有唯一确定的恩格尔系数值与之对应。

问题2：观察以上实例，分析、归纳它们有什么共同特点？

生：都是两个集合，都有对应关系，都是生活中的例子。

问题3：你能尝试说明什么是函数吗？

师（归纳）：

（1）都有两个非空数集。

（2）两个数集之间都有一种确定的对应关系。

（3）对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y与它对应，记作f：A→B。

（4）有3种方法表示函数。

设计意图：这样的教学流程使学生完成了抽象的全程，提高学生的数学抽象素养和数学逻辑素养，让学生知道不是每一个函数关系都可以用解析法表示。

3.形成概念，深化理解

（1）函数概念

设A、B是非空的数集，如果按某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x）。

其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫作函数值，函数值的集合｛f（x）|x∈A｝叫作函数的值域。显然，值域是集B的子集。

师：请同学们勾画出概念中你认为最关键的部分。

学生通过交流讨论得出以下几点：非空的数集；确定的对应关系；任意性与唯一性。

问题：怎样理解符号y=f（x），f（a）与f（x）表示的意义一样吗？

生：y=f（x）仅仅是数学符号表示的是y是x的函数。它可以是解析式，也可以是图像，也可以是表格。其不是表示y等于f与x的乘积。f（a）表示的是当x=a时函数f（x）的值，是一个常量，而f（x）是自变量x的函数，f（a）是f（x）的一个特殊值。

（2）函数的表示法

解析法：用一个等式表示出x与y的关系。

列表法：用表格表x与y的对应关系。

图像法：以图像中的点的坐标（x，y）描绘出能反映x与y的对应关系的曲线。

（3）函数的三要素

问题：函数定义中有哪几个要素？

生：三要素，即定义域、值域、对应法则，缺一不可。

师：用几何画板显示这三种函数的动态图像，启发学生观察、分析，并请同学们小组合作讨论之后记忆表2—3。

表2—3　二次函数的基本要素

设计意图：这部分主要是教师在学生自主表征的基础上归纳总结本节课的核心知识，使知识更系统化和规范化。利用信息技术工具画出函数图像，将抽象的表达式变为直观的图形，让学生一眼就能看出“数”与“形”是如何相互转换的，更好地帮助学生理解上述函数的三个要素，从而加强学生对函数概念的理解，进一步挖掘函数概念中集合与函数的联系。

4.课堂小结，教师评价

学生对本节课所学的内容进行自主小结，教师重述从生活情景中抽象出函数概念的全过程并及时归纳总结：函数的概念；函数的三要素；数形结合的思想。

设计意图：再现课堂，小结提升，有助于学生明确重点。

5.作业布置

人教版必修1第24页，习题1.2A组，第1、3、4题。(www.xing528.com)

（二）“指数函数”的教学案例分析

本节“指数函数”节选自人教B版必修1第三章第一节第二课时，本节是指数函数的新授课。

【教学重点】

根据对新课标和教材的分析，确定本节课的重点是理解指数函数的定义，掌握其图像和性质。

【教学难点】

根据学生现有的知识基础，将难点确定为通过指数函数图像抽象出其性质；利用指数函数的定义和性质解决灵活实际问题。

【教学目标】

1.知识与技能

理解指数函数的概念；掌握指数函数的图像、性质，熟练应用图像、性质解决相关问题。

2.过程与方法

通过观察指数函数的图像归纳出指数函数的性质，让学生经历从特殊到一般的学习过程；引导学生感悟数形结合思想，提高学生归纳、抽象的能力。

3.情感、态度与价值观

通过实例引入，让学生体会到生活中处处有数学，体会到数学的实用性，提高学生用数学知识解决实际问题的意识；通过探究合作、交流反思，使学生感受到探索的乐趣，体会到数学的严谨，养成锲而不舍的钻研精神。

【教学方法】

1.教法

在教学中，主要使用引导式教学法和探究式教学法，并利用多媒体辅助教学，通过不断探索、发现，让学生主动获取知识。

2.学法

学生主动探究指数函数的定义、图像和性质，在对比中积极思考、交流，在发现中获得学习的兴趣。

【教具准备】

多媒体课件、电子白板、彩色粉笔。

【教学过程】

1.创设问题情境，引发思考

复习提问：函数的概念是什么？函数的三要素是什么？

教师给学生1分钟，让学生自主思考，等待学生回答后，要特别强调函数三要素。

设计意图：教师通过简单提问，让学生回忆函数的基本知识，为接下来指数函数定义的获得以及构建函数知识体系奠定基础。

2.导入新课

实例1：细胞分裂问题

教师播放细胞分裂的动画，并提出以下问题：细胞每分裂一次，其数目有什么变化？

生：第一次分裂后得到2个细胞，第二次分裂得到4个，第三次8个，第四次16个……

师：在这个变化过程中，分裂的次数是一个变量，我们将它看作自变量，用x表示；细胞个数是因变量，用y表示，那么如何用y和x表示细胞个数与次数间的关系呢？

学生思考、讨论。

教师引导学生共同探究，最后归纳出，第x次分裂后，细胞个数为y=2x。

师：这个函数的定义域？

生：非负整数集。

设计意图：通过实例引入，并用动画演示，激发学生的兴趣，使学生切实感受到变量之间的关系，初步建立指数函数的概念；让学生思考、交流，引导学生归纳总结，从实例中抽象出函数关系式，培养学生的数学抽象素养。

实例2：一根长度为一米的绳子，第一次减去绳长的一半，第二次减去剩余的绳子的一半，减x次后，绳子的长度为？

教师引导学生模仿细胞分裂过程y与x的函数关系式，让学生思考，并抽象出函数式为。

设计意图：给学生一定的时间思考，并引导学生模仿学过的方法解决相似问题，利于提高学生的数学抽象素养。

（1）指数函数的定义

教师引导学生识别上面两个例子中的函数的形式与之前学习的函数的形式不同，从形式上是幂的形式，且自变量在指数位置上，点明形如这样的函数称为指数函数，在课件上显示出指数函数的定义。

设计意图：从两个实际问题出发引入概念，体现了数学知识的实用性，激发了学生用数学知识解决实际问题的意识，利于提高学生的数学抽象素养；通过与已学习的函数进行对比，更利于掌握指数函数的本质特征。

一般的，形如y=ax（a＞0，a≠1）的函数称为指数函数。

教师提出质疑，为什么a＞0，a≠1，引发学生积极思考；点明指数函数的定义是形式定义，并给出以下判断题：

判断下列函数哪些是指数函数：

y=3x　　　　　y=x3　　　　　y=-3x　　　　　y=3x+1

设计意图：通过讨论a的范围，有利于学生对指数函数的掌握，也为后面研究图像和性质埋下伏笔；通过设置判断题使得学生精确地抓住指数函数的概念的本质，提高了学生的数学抽象素养。

（2）指数函数的图像与性质

学生在同一直角坐标系中画出函数y=2x，的图像，并完成表2—4。

表2—4　指数函数性质表1

教师给学生5分钟进行探究并合作完成表格。在此过程中，教师观察学生讨论与交流，并给予相应的指导。

设计意图：表格清晰明了，更利于知识的比较，并且为后面动态研究参数a的取值对指数函数图像的影响做铺垫。

给学生3分钟，在教师引导下，积极思考，争取得出结论。

教师引导学生思考，并利用多媒体课件一步一步显示结果，共同完成表2—5。

表2—5　指数函数性质表2

设计意图：这是本节课的重点和难点，引导学生积极主动地思考，小组讨论，由学生自己归纳抽象出函数的性质，一方面利于学生深刻掌握指数函数的本质，另一方面提高了学生的数学抽象素养；内容表格化，更清晰明了。

3.例题讲解

例：利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：

（1）1.7a与1.7a+1

（2）0.9-0.1与0.9-0.2

（3）1.80.3与0.83.2

在教师的引导下，学生小组讨论一分钟，利用性质作答。

设计意图：为了强化指数函数性质的应用，设计了3道题分别考查指数函数中底数和指数的大小对函数值的影响，使得学生在解题的过程中加深对性质的理解与把握。

4.实战练习

设计意图：为了使学生灵活应用指数函数的性质解决问题，对指数函数的定义、图像有更深的理解，设置了以下练习题。通过设置相似的问题，让学生掌握解决问题的通性通法，从而提高学生的数学抽象素养。

函数y=（a2-3a+3）ax是指数函数，则a的取值范围是（）。

A.a=1或a=2　　　B.a=2　　　C.a=1　　　D.a∈（0，+∞）且a≠1，a≠2

给学生3分钟时间自主利用性质解答，最后教师指导。

5.课堂小结

教师提出以下三个问题，学生通过思考与交流，加深对指数函数的理解：

（1）本节课我们主要学了什么？关于指数函数，你还发现了哪些特点呢？

（2）用到了哪些数学思想和解题技巧呢？

（3）生活中还有哪些指数函数的例子呢？我们能解决什么问题呢？

设计意图：通过这三个问题，让学生明确本节课的主要内容，强化学习重点，并为以后的学习打下基础；联系实际问题，提高学生解决实际问题的能力，从而提高学生的数学抽象素养。

6.布置作业

（1）在同一坐标系内，画出下列每对函数的图像，并说出每对函数的相同和不同性质：

①y=2x，y=（）x

②y=0.5x，y=0.5-x

（2）比较下列各题中两个值的大小

40.8与40.7　　　　　　　1.1-2与1.1-3.5　　　　　　　3.20.5与4.20.5