空间微波部件：微放电稳态统计理论

Vdovicheva等［1］针对平行平板结构提出了一种适用于单载波微放电的统计理论，首次在微放电过程的理论分析中考虑了电子出射速度的随机特性，其主要思想及计算过程为：根据电子在间隙为d均匀平行平板中的运动轨迹方程，获得电子渡越时间τ与出射相位φs和归一化出射速度u之间的关系，以已知电子出射速度vs的麦克斯韦随机分布构造电子渡越时间、出射相位和位移的联合概率密度函数G（τ｜φs；λ），研究电子数目随二次电子代数的变化情况，根据稳态条件推导出微放电发生的边界，进而给出微放电敏感曲线。联合概率密度函数G（τ｜φs；λ）的物理意义为电子以相位φs从任一极板出射经过电子渡越时间τ后到达对面极板实现位移λ的概率，其中λ＝ωd／vω为两极板之间的归一化距离，vω＝eE0／（mω）为电子在微波场作用下的振荡速度。

第1章平行平板结构中电子的运动轨迹方程（1－16）可表示为：

在时刻ti电子的轨迹x（t）穿过上平板x＝d可由下面方程最小的根来确定：

通过对变量进行归一化，引入无量纲变量：

基于这些变量，电子的轨迹方程式（3－1）可表示为：

相应地，式（3－2）可表示为：

当ξ＝λ时，代表电子从下极板渡越到上极板，意味着电子发生了双边碰撞；当ξ＝0时，代表电子从下极板又回到下极板，意味着电子发生了单边碰撞。最初的稳态模型只考虑电子在两极板之间双边碰撞的情形。

通过引入变量归一化电子渡越时间τ＝φi－φs，式（3－5）可进一步表示为：

注意到式（3－6）是基于经典的常数v理论推导的，该公式给出了具有初速度u，初始相位为φs的电子在碰撞相位φi时到达对面极板ξ＝λ时需要满足的条件。然而，当二次电子从材料表面出射时，它们的出射速度会服从特定的随机分布，而这种随机性也造成了微放电是一个具有统计特性的复杂过程。由式（3－6）可以看出，在特定初始相位和平行平板间距条件下，电子渡越时间和电子出射速度相关联，因此电子渡越时间也具有类似的随机特性。因此，基于电子的轨迹运动方程，采用统计理论的方法，可以获得在不同参数φs和λ下，电子到达对面极板的渡越时间τ的联合概率密度函数G（τ｜φs；λ）。二次电子的出射速度u满足麦克斯韦分布，其概率密度分布函数可表示为：

式中，vt为平均出射速度，可由二次电子的平均出射动能Wt来确定，满足

Wt＝（m／2e）v2t，通常Wt取1.5 eV。

可以从电子出射速度的概率密度函数f（u）出发构建联合概率密度G（τ—φs；λ）。根据统计理论中随机单变量的变换理论，G（τ—φs；λ）可通过式（3－8）获得：(www.xing528.com)

其中，必须是u关于τ的单调函数。由式（3－6）可以获得u关于τ的函数，记为

如上定义，u必须是关于τ的单调函数，但是通过轨迹方程给出的g0由于存在三角函数项，往往并不是单调的。g0的非单调性表示对于单个出射速度存在多个τ可以使电子到达对面极板，即电子在不同的时刻与对面极板发生碰撞。这意味着一个电子的运动轨迹多次穿过极板，而事实上，在电子与极板发生首次碰撞后就会产生二次电子，所以第二次及以后的碰撞在物理上是无意义的。因此，为了构建g，需要对原函数g0进行单调化处理。同时，g必须大于或等于一个最小速度umin，以使电子能够到达对面极板。函数是由函数对于给定参数φs与λ情况下去掉非单调区域和的区域得到的。关于和最小速度umin的求解过程详见文献［1］。

与传统的假设所有电子具有相同出射速度的谐振理论不同，统计理论考虑了初始速度的概率分布，很宽能量范围内的电子都会参与到微放电中，随着时间的推移和电子与两极板间的多次碰撞，具有一定宽度的特定稳态出射相位分布的电子将比其他相位分布的电子更易于参与到微放电过程中，微放电的随机过程将收敛到一种稳态解，这种考虑电子数目随碰撞次数（即二次电子代数）呈稳态分布的微放电统计理论称为稳态模型微放电统计理论。

稳态模型研究的是电子数目随二次电子代数的变化情况，假设第l－1代二次电子的数目为Nl－1，电子在［0，2π］内分布函数为fl－1（φs），经过下一次碰撞后第l代二次电子的数目Nl和分布函数fl（φs）满足：

以及

随着电子碰撞次数的增加，只有特定相位分布的电子能够参与到电子倍增过程中，从而形成一种稳态相位分布。这里将稳态分布后的电子出射相位分布表示为fst（φs），因此fl－1（φs）＝fl（mod（φs＋π；2π））＝fst（φs），则微放电进入稳态后相邻两代的电子数Nst和Nst－1之间的关系为：

式中，

当电子数目处于不增长也不减少的临界状态时，即Nst＝Nst－1，对应微放电的临界状态，这时稳态函数满足：

式（3－13）属于第二类Fredholm积分方程，通过求解该方程可以获得稳态的出射相位分布fst（φs）。注意到，平行平板结构具有对称性，前后两代电子的出射方向相反，所以第st代和第st－1代电子的出射相位之间相差π。

在上述构造联合概率密度函数时，只考虑了位移为λ＝ωd／vω的情况，即电子从一个极板渡越到对面极板的情况。因此，最初提出的稳态模型微放电统计理论只考虑了电子双边碰撞的情况，并且无法给出微放电随时间演化的动态过程。但是，该方法首次将电子的出射速度进行了随机概率处理，更接近实际微放电的物理过程，对微放电分析具有重要的理论意义；同时，稳态模型的计算速度快，可以快速获得微放电敏感区域的边界。