单载波微放电谐振模型-空间微波部件多载波微放电分析

微波部件内部的电子在电场的加速作用下迅速达到很高的速度，并与微波部件内壁表面发生碰撞，在表面产生二次电子，如果此时电场方向翻转，新产生的二次电子将朝对向表面开始加速，并与对向表面碰撞，会产生更多的二次电子。如果该过程持续进行，电子数目将会急剧增长，并最终激发微放电。

单载波微放电谐振理论是根据单个电子在电场均匀分布的平行平板结构中的运动方程推导建立的［64］。真空中电子在外加电场作用下的运动方程可表示为：

式中，m（≈9.1×10－31 kg）和－e（≈－1.6×10－19 C）分别为电子的质量和电量；x为运动方向；E为电场强度。

只有交流变化的电场才能激发微放电，因此假设平行平板中存在空间均匀分布的时谐电场E＝－E0 sinωt，求解方程可以获得速度和位置x的表达式：

式中，A和B都是积分常数，由初始条件决定。

假设在ts＝αs／ω时刻，在x＝0处以初速度v0垂直于平板发射了一个电子，结合初始条件，则速度和位置可表示为：

为了电场与电子谐振以激发微放电，当ωt＝Nπ＋αs时，电子需到达对面平板（x＝d），其中N是奇的正整数（N＝1，3，5…）。将谐振条件应用于式（1－16），时谐电场的幅度满足：

在研究微放电时碰撞速度是另一个重要的参量，因为它决定了二次电子发射系数，将ωt＝Nπ＋αs代入式（1－15）即可获得碰撞速度：

在f×d和电压V的参数空间中建立能够激发微放电的区域边界，需要对二次电子的初始速度进行合理假设。实际上，二次电子的初始速度满足特定概率分布，在粒子模拟（Particle in Cell，PIC）或近年来发展起来的统计理论中，可以采用概率分布函数来描述二次电子的初始速度。但是基于经典微放电谐振理论的解析方法无法考虑二次电子初始速度的随机特性，只能进行简单假设。

在微放电研究初期，提出了两种常用方法：一种是基于常数k，假设初始电子的碰撞速度与二次电子的初始速度的比值为常数k；另一种是基于常数v，假设二次电子的初始速度与初始电子的碰撞速度无关，为一个固定常数v0。基于这两种方法建立的微放电敏感曲线都是针对电场均匀分布的无限大平行平板结构中电子的一维运动方程推导获得的。

本节采用Vaughan的二次电子发射模型进行微放电敏感曲线的计算。将式（1－18）中的碰撞速度设为第一能量交叉点对应的速度，并将式（1－17）代入后可以获得谐振相位αs随ωd的函数：

式（1－19）联立式（1－17）或式（1－18）就可以建立电场强度幅度E0（或电压V）与ωd（或f×d）的关系曲线。

在建立微放电敏感曲线之前，还需要考虑非返回电子极限。如果二次电子在电场反向之前发射，电子会被电场减速，如果电子的速度很小，电子极有可能返回原发射表面，并由于其能量太小以至于无法产生新的二次电子而被吸收。文献［65］给出了非返回电子极限的近似公式，在常数v方法中可以表示为：(www.xing528.com)

联立式（1－17）、式（1－19）和式（1－20）并使碰撞速度vi等于第一能量交叉点对应的速度v1，可以建立敏感曲线的下边界。为了绘制敏感曲线的上边界，使碰撞速度vi等于第二能量交叉点对应的速度v2。当碰撞速度介于第一能量交叉点对应的速度v1和第二能量交叉点对应的速度v2时，可以绘制上下边界之间的敏感曲线。图1－10给出了基于常数v方法建立的微放电敏感曲线，称为Sombrin敏感曲线［66］。从图中可以看出，对于每一个谐振阶数N，都有发生微放电的敏感区域，随着阶数N的增加，微放电的敏感区域逐渐变窄。

图1－10　基于常数v方法的微放电敏感曲线［64］

对于基于常数k的方法，经过推导，谐振相位、电场强度幅度以及非返回电子极限的公式可以表示为：

联立式（1－21）、式（1－22）和式（1－23）可以建立微放电敏感曲线的上下边界。根据每个微放电敏感区域的上下边界谐振相位的最小值αmin和最大值αmax并结合式（1－22）可以获得敏感区域的左右边界，表示为：

在对数坐标中敏感区域的左右边界为直线，其中参数p和q可根据上下边界谐振相位的最小值和最大值对应的fd和V拟合获得。基于常数k的微放电敏感曲线如图1－11所示，称为Hatch－Williams敏感曲线［67］。从图中可以看出，随着电压的增加，Hatch－Williams敏感曲线的微放电区域比Sombrin敏感曲线宽。发生这种情况的主要原因是对于常数k方法，随着初始电子碰撞速度的增加，二次电子的初始速度也成比例地增加。例如，当碰撞能量Ei＝3 000 eV时，对于常数k＝2.5，发射的二次电子的初始能量为E0＝480 eV，这显然与二次电子初始能量分布不符。

图1－11　基于常数k方法的微放电敏感曲线［64］

当微波工程师进行微放电风险评估时，通常不使用上述独立的微放电敏感区域，而是采用所有微放电敏感区域的底部包络作为设计阈值。将式（1－18）中的相位αs设为零，可以获得激发特定碰撞速度vi的最小电场强度幅度。对于Hatch－Williams和Sombrin敏感曲线而言，底部包络是相同的，可表示为：

基于式（1－25）可以建立两种微放电敏感区域的底部包络，如图1－10和图1－11中虚线所示。

只要给定某种材料的二次电子发射系数两个能量交叉点E1和E2，同时给出二次电子的初始能量E0或者常数k，就可以建立这种材料的微放电敏感曲线。

物理电子学认为二次电子的初始速度与初始电子的碰撞速度没有直接关系，而是符合特定的概率分布［53］，因此常数k方法看上去更不符合物理常识［21］。虽然常数v的假设在物理上更为正确，但是在实际工程中常数k方法却得到了更为广泛的应用，这主要是由于Woode和Petit等［68］在20世纪80年代通过对由多种空间典型材料制备的微波部件进行微放电阈值测量，发现Hatch和Williams基于常数k的微放电敏感曲线在合理调整常数k和E1后能够与实验结果吻合良好，如图1－12所示。因此，ESA于2003年在基于常数k理论的敏感曲线的基础上制定了微放电设计及测试标准［56］，用于指导国际各宇航机构的大功率微波部件设计及验证。但这一方法的问题在于对于每一个敏感区域，必须假设不同的第一能量交叉点的值才能获得良好的吻合。这种方法显然缺乏物理意义，从工程实践的角度讲，这种方法可以满足使用需求，但对改善人们对微放电现象的理解贡献较少。

图1－12　合理调整常数k和E1后的常数k的微放电敏感曲线与实验结果的比较［64］