平行线判定方法的教学案例详解

转化和化归的思想就是借助某些图形的性质、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的目的。转化化归思想是初中数学中常见的一种数学思想方法，它的应用十分广泛，教师在解题时经常运用此思想方法，将复杂问题转化成简单问题，将生疏的问题转化成熟悉的问题^[7]。转化化归的思想就是要教师深刻理解并灵活运用新旧知识之间的关系。

在初中数学中常见的运用转化化归数学思想的问题有：学习平行线的判定方法时，将角的数量关系转化为线的位置关系；解一元二次方程时，将“二次问题”转化为“一次问题”；求多边形内角和时，借助辅助线将“多边形”转化为“三角形”；解斜三角形（多边形）时，将其转化为解直角三角形……下面将以“平行线的判定”为例进行基于化归思想方法的教学设计。

（一）内容及内容解析

1.内容

本节课是平行线的判定，主要教学内容是平行线的判定方法。

2.内容解析

本书研究平面上两条直线的位置关系，以及与平行有关的平移变换。

平面上两条直线的位置关系是“图形与几何”的基本内容。在小学阶段，学生借助生活情境直观地了解了平面上不同位置的两条直线，本章将从说理或简单推理的角度进一步深入细致地研究相交线的特征和平行线的判定与性质。本章内容是后续学习三角形、四边形（特别是平行四边形和梯形）、圆以及图形变换等内容的基础，具有承上启下的作用。

两条相交直线形成四个角，分别是对顶角、邻补角，其特征为邻补角互补，对顶角相等。这两个特征是研究一切与相交有关内容的基础。垂直是特殊的相交关系，垂直相关内容的研究也是几何特例研究的一个范例（在数学研究中，教师常常要考察特例）。

平行线的判定与性质，在内容上它们是互逆命题，都是借助于第三条与之相交的直线而形成的角来加以研究的，都体现了平面上两条直线的位置关系与两个角（同位角、内错角、同旁内角）的数量关系的内在联系。平行线的性质为以后证明两个角相等或互补提供了简捷的方法。在研究方法上它们均采用了“动手操作—直观发现—猜想结论—获得公理—简单推理（或说理）”的模式，实现了由实验几何向论证几何的过渡。

本课内容及研究过程蕴含或体现了以下几种数学思想方法：①平面上两条直线的两种位置关系蕴含分类思想；②相交线特征、平行线的判定与性质都是将两条直线的位置关系与两个角的数量关系建立了联系，其内容均蕴含转化思想；③相交线特征和平行线性质的研究过程体现了由特殊到一般的方法；④运用相交线的特征和平行线的判定与性质解决具体问题的过程体现了由一般到特殊的方法。

综上，本课的核心内容是相交线的特征、平行线的判定与性质，内容核心是对顶角相等及两个基本事实（同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等），核心思想方法是转化思想。

本课属于“空间与图形”领域里的内容，是在学习了相交线、平行线的基础上，探索平行线的判定方法。平面内两条直线的位置关系是“图形与几何”所要研究的基本问题，本课在两条直线的基础上借助第三条直线与之相交，而形成的角的数量关系建立判定两条直线平行的方法。通过本课内容的学习，也为后续学习三角形、四边形等内容打下基础。同时，让学生感受到所学数学知识在现实生活中的应用，这也体现了课标中学有价值的数学这一理念。

平行线判定的推理过程，是在一个基本事实（同位角相等，两直线平行）的基础上，探索其他的判定方法。探究新知的过程中体现出运用已有知识解决未知问题；是在两条直线的基础上，借助第三条直线与之相交而形成的角（同位角、内错角、同旁内角）的数量关系建立两条直线的位置关系，即直线的位置关系是通过有关角的知识反映出来的，蕴含着转化思想。

本课的核心内容是平行线的判定方法，内容核心是一个基本事实（同位角相等，两直线平行），核心思想方法是转化思想。

基于上述分析，确定本节课的重点是：平行线的判定方法。

（二）目标及目标解析

1.教学目标

（1）知识技能。掌握平行线的判定方法；理解平行线的判定方法的说理过程。

（2）数学思考。通过平行线的判定方法的探究过程，体会归纳和转化的数学思想方法；经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，培养分析解决问题的能力和表达能力。

（3）解决问题。能利用平行线的判定方法分析和解决一些基本问题，抓住平行线的判定方法是由同位角、内错角、同旁内角的数量关系决定的；通过深入理解平行线的判定方法与角之间的数量关系来解决现实生活中的实际问题。

（4）情感态度。通过对平行线的判定方法的探究，使学生初步认识数学与现实生活的密切联系；通过师生之间的互动，致力于在学习活动中培养学生良好的情感、合作交流、相互帮助的意识，在独立思考的同时能够肯定他人的想法。

2.目标解析

（1）掌握平行线的判定方法，此目标要求学生在画出平行线的基础上，归纳判定方法（同位角相等，两直线平行），在此基础上探究出其他判定方法，这一过程中让学生感受遇到新问题时，把它转化为已知的（或已解决的）问题，体会转化思想在数学学习过程中的重要作用。并在此基础上，理解平行线的判定方法的说理过程，学会简单的说理，要鼓励学生用自己的语言说明理由，在教学中注意对学生循序渐进地进行训练。

（2）通过对平行线的判定方法的探究，使学生经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，培养学生良好的思维品质，提高学生的思维能力。经历小组交流合作的过程，调动学生的学习积极性，体现教育家杜威“在做中学”的理论。

（3）让学生感受到通过角的数量关系判定两直线的位置关系的过程，感受知识间的关联性。也让学生领会学习新知识往往要借助已有的旧知识，通过已有的知识来解决新问题，体会转化的数学思想方法。

（4）使学生能运用所学知识解释生活中的相关现象，体会学习数学对生活有着重要意义；同时，在交流活动中发展学生的空间观念，感受与同学合作交流的乐趣，激发其学习数学的兴趣，培养其互帮互助的高尚品质。

（三）教学问题诊断分析

学生在学习了相交线、平行线的基础上，对同位角、内错角、同旁内角有了一定的了解，在学习本课时，可能会出现如下问题。①判定两直线平行时，同位角、内错角、同旁内角找的不够准确。②同位角、内错角、同旁内角满足何种数量关系易混淆。③不知道运用已有知识解决新问题。

基于上述分析，确定本节课的难点是：探究平行线的判定方法的过程。

（四）教学支持条件分析(www.xing528.com)

结合本节课教材内容的特点，为了有效达到教学目标，更直观、形象地突出重点、突破难点，借助信息技术工具，充分利用多媒体展示，动态演示，给学生以直观感受，为探索平行线的判定方法起到辅助作用。并且恰当地运用多媒体教学，可以提高课堂效率，让老师执教起来更方便、更直观。

（五）教学过程设计

1.复习引入，快乐启航

问题1：上一节课我们学习了什么知识？

引入：本节课我们研究平行线的其他判定方法。

【设计意图】通过复习平行线的相关知识，为学习平行线的判定方法奠定基础。

师生活动：教师提出问题，学生思考后进行回答，教师再结合学生回答的情况加以补充说明。

2.自主探索，获取新知

问题2：我们以前学过用直尺和三角尺画平行线，你还记得如何利用这两种工具画出平行线吗？

【设计意图】让学生亲身经历画图的过程，为解决下面的问题做铺垫。

师生活动：教师适当指导，学生动手操作，总结方法：一放，二靠，三推，四画。相互交流画出的平行线，投影仪展示画出的平行线。教师再利用几何画板展示用三角板、直尺画平行线的方法，通过度量工具，度量出角度的大小，可看出虽然三角板的位置变了，但角的大小没变，为下一步概括结论打下基础。

问题3：在刚才画图的过程中，可以得到一个什么结论？

【设计意图】在观察、分析中，抽象、概括出两直线平行的实质。

师生活动：学生独立思考，教师引导学生观察画出的图，帮助学生分析出画图的实质。学生试着概括出利用同位角判定两条直线平行的方法。

问题4：除了刚才的判定方法外，还有其他方法吗？

【设计意图】让学生大胆猜想，并验证猜想，培养学生逻辑推理能力，渗透转化思想。

师生活动：学生思考，小组交流讨论，汇报成果。教师参与到学生的小组讨论中，适当给予指导。

3.小结梳理，布置作业

（1）小结。

判定平行线共有六种方法，分别是：①定义；②平行线公理推论；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行；⑤同旁内角互补，两直线平行；⑥垂直于同一条直线的两条直线平行。常用的是：③④⑤。在遇到新问题时，往往转化为已知的问题，这就是转化思想。解决几何问题时注意分析问题的方法，注意几何语言的书写。

【设计意图】理清本课内容，注重对学生思想方法的渗透。

（2）作业。

教材16页1、2、7题。

【设计意图】选取适当题目巩固所学知识。

（六）教学反思

（1）本节课通过让学生动手操作画出平行线，引入平行线的判定方法①（同位角相等，两直线平行）。在此基础上让学生大胆猜想，当内错角、同旁内角满足什么样的数量关系时，也能判定两直线平行？让学生带着问题、猜想来学习本课，在小组交流活动中，通过相互合作，探究新知。教师在必要时刻借助几何画板技术动态演示，以此帮助学生验证猜想，激发学生学习数学的热情。

（2）在教学方法上，能利用问题情境，让学生在解决问题的过程中复习已有知识，同时为学习新知识做好准备，在教学中能够引导学生通过自主探索、合作交流等方式获得新知识、新方法，符合初中一年级学生的认知规律及年龄特征。在解决问题的过程中多方面尝试，丰富学生的解题策略，教师的适时点拨，精练概括，使学生的思维逐渐条理清晰，帮助学生积累经验、训练技能。

（3）在本节课的教学过程中，教师充分地运用了信息技术——几何画板软件、powerpoint软件，使课堂的教学效率极大提高。特别是几何画板的动态演示过程，进一步验证了学生的猜想，直观地让学生感受到几何图形的变化，并能激起学生的探究欲望，符合初中一年级学生的心理特点。在利用几何画板软件演示改变第三条截线的位置时，通过度量角度，学生能清楚看到内错角、同旁内角在数量上的关系，这对突出本节课的重点有很大的帮助。同时，潜移默化地体现了本节课的数学思想——转化的思想，即将角的数量关系转化到两条线的位置关系。由此可见，有效合理地利用信息技术，不仅能提高课堂效率，还能有效帮助教师突破课堂教学的重点、难点，帮助教师渗透数学思想方法，使学生轻松地掌握所学知识，调动学生学习数学的积极性。

（4）本节课内容是学生升入初中刚开始接触的几何内容，学习内容相对较容易，主要是定理内容教学。初中一年级学生具有好奇心，教师利用信息技术教学，可以激发学生的求知欲、探索欲。虽然是判定定理的教学，但是可以通过几何画板技术动态演示直线c所在的不同位置，导致角的数量上的变化，也能让学生直观看到多个角之间的数量关系的不变性，感知几何中的变与不变性，这是在传统教学中无法直观感受到的。