基于数学思想的知识螺旋上升渗透策略

数学思想有一定的深度，它与数学知识密切相关，以数学知识为载体，因此数学思想的渗透情况需要根据数学知识的螺旋上升有层次性地进行。层次性表明对数学思想的学习须从“低层向高层”转移，以低层为起点，高层为目标。从方法论的角度来理解：层次性表明低层内涵是高层内涵的具体化，受其制约与指导，它的巧妙应用来源于对高层内涵的深刻领悟。

（一）低起点——渗透数学思想

任何数学新知识的生成总是伴随着数学思想，笔者在访谈与调查中了解到学生对数学思想的主要感受是理解起来很难，尤其是在具体的解题过程中，同时，教师备受困惑——数学思想很抽象，学生难于理解。事实上，在教学中，基础知识的学习中处处渗透数学思想，而基础知识是学生较易理解的，因此，降低起点，以基础知识为主要载体渗透数学思想更易有利于学生理解。

如：几何问题中常因位置不同而进行分类讨论——几何学习中分类讨论思想的起点在学习第一课时“线段、射线、直线”的最基本知识点中，因此，要从第一课时就渗透数学思想，而不能到分析一次函数图像时才渗透。

（二）频追问——深入数学思想

追问是教学活动中必不可少的方式，引导学生体会数学思想如何在数学知识间渗透，需要大量的追问，追问有利于学生参与教学活动，减少教师空洞地归纳总结。如在数的概念中深入渗透数形结合思想时，可以以问题串的形式引导学生。

（1）如何判断一个数在数轴上对应的点是在左侧还是右侧？学生容易回答：看这个数字的符号。即一个数的符号决定着这个数对应的点在数轴上相对于原点的位置（左、右）。

（2）如何判断一个数在数轴上离原点有多远？学生也较易回答：除开符号，只看“数”（绝对值概念还未学，学生表述会有困惑，教师可引导答为“看数值”）。

这样还为绝对值概念学习的必要性提供了依据，可以引导学生课后预习。

再以探索多边形的内角和的教学片段为例。

教师：我们在小学就已经知道三角形的内角和为180度，并且在之前已经证明了这个定理，那么多边形的内角和是多少度呢？

学生：多边形的内角和应该不是固定的，角越多度数越大。

教师：嗯，是不是这样的呢？我们一起来探索一下n边形的内角和的计算方法。数学中在遇到不会的新问题时，我们通常有什么思路可以解决？

学生：可以将不会的问题转化成已经会的问题。

【设计意图】教师能用问题串的形式引导学生自主参与并渗透化归思想，引导学生形成思考问题的基本思维方法。

教师：那对于n边形的内角和可以怎么转化呢？n边形的内角和，我们从几边开始呢？我们试试从特殊的已知的三边、四边开始尝试，我们也知道四边形的内角和是360度，我们并没有证明过，你知道如何验证吗？

学生：360度是两个180度。

学生：四边形可以分割成两个三角形。

【设计意图】引导学生运用不完全归纳法探索多边形的内角和公式，渗透由特殊到一般的思想。割（补）法是化归图形问题的常见途径。

教师：如何画？

师生共同探索，如表3-1所示。

表3-1

教师：以上分割多边形的方法是从多边形的一个顶点出发，通过连线段的方式将多边形内角和问题，转化成了多个三角形内角和问题，从而探索出了多边形的内角和的计算公式180°×（n-2）。我们知道图形的基本元素有点、线、面（渗透分类讨论思想），刚才我们从点这一元素分割了多边形，那我们还可以如何分割多边形呢？

学生：从线出发，从多边形的一条边出发。

分析数学思想渗透：深入挖掘化归思想的途径——从图形的基本元素点、线、面入手，实现研究对象从一般的图形——多边形到特殊的图形——三角形的转变，从而将多边形的内角和问题转化为三角形的内角和解决，也是一般到特殊的思想。

教师：如四边形可以如何分割？

引导学生探索多边形的内角和公式，并作为课后提高作业完成，同时鼓励学生思考其他分割图形的方式。

在课堂小结中引导学生小结这些不同分割图形方法的本质的原因是——按点与多边形的位置关系分类讨论，如图3-1所示。

图3-1　点与多边形的位置关系

（三）高建构——升华数学思想

知识的生成过程，随时伴随着数学思想的渗透。随着数学知识的积累，数学思想的深度也在逐步加深，在教学中需要教师循序渐进地渗透数学思想，让数学思想在数学知识海洋中自然流淌。随着基础知识的积累，建构常见数学思想在不同知识间的框架，知识越多，建构的框架越高，渗透数学思想越深入，不仅能引导学生体会数学思想在知识间如何层层递进地渗透，还有利于学生知识体系的建构。

以数形结合思想在数与式这一板块中的体现为例，以数形结合思想为主线，整个建构过程中同时渗透着其他数学思想。(www.xing528.com)

（四）广视野——挖掘数学思想

数学思想具有普遍性的特点，因此，数学思想以形式而存在，适用于任何数学知识，甚至适用于其他科学领域。对初中数学知识而言，无论基于哪一板块、哪一层次的知识载体，初中常见数学思想结合其各自特点分别有一些主要途径，这些途径将数学思想如何在数学知识间渗透概括其中。在调查中我们发现，数学思想的渗透虽然已经被广大一线教师所重视，但在教学中渗透数学思想大多数由老师总结（尤其是口头提及、一句带过、点到即止），很生硬——仅仅提及渗透了哪些数学思想，但“如何渗透的？”这一问题未被重视，究其原因是教师对相关数学思想的渗透途径并不清晰，部分教师对数学思想的理解还比较模糊，因此，在研究初中新课教学中常见数学思想渗透的主要途径，成为拓宽渗透数学思想视野的重要措施，也是提升教师数学专业素养的重要途径。

1.化归思想

在遇到一个新问题时，数学研究常把新的问题化归为已经解决的问题或是较简单的问题。实现化归思想通常有以下途径。

（1）从未知化归到已知，在教学中引导学生可以直接描述为将“不会的”问题化归为“会的”问题解决。化归的具体方法较多，如在探索二元（三元）一次方程的解法时，运用消元法将方程转化为一元一次的方程求解，通过去分母将分式方程转化为整式方程研究，还有配方法、因式分解等方法，均是通过恒等变换实现新问题化归为已解决过的或能解决的问题。

（2）由难到易、由繁到简地化归。化归思想的主要目的就是将新问题化归为已经解决了的或能解决的问题，或者化归为较为容易较为简单的问题。然而，“繁”与“简”“难”与“易”并不能仅仅从形式上观察，不能犯教条主义的错误，而需要具体问题具体分析。

（3）由一般到特殊的化归。通常而言，较一般的问题比较特殊的问题更难解决，因此数学中经常用到由一般到特殊的化归。例如，一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的求解过程，可通过配方法转化，从而探索出求根公式，得出求根公式能大大简化一般的一元二次方程的求解过程。

运用化归思想转化问题的主要思路如上所述，实现化归的方法很多，初中阶段常见的有分割法、映射法、求变法。简述如下。

分割法在解决问题时将新问题分割成若干子问题，通过组合子问题的解答从而实现新问题的解答。法国著名哲学家、数学家笛卡尔的一段话便是其重要体现：“把你所考虑的每个问题，按照可能与需要，分成若干部分，使它们更易于求解。”

映射是指在两类数学对象或两个数学集合之间建立某种“对应关系”。运用映射法解决问题的过程是先通过映射将问题转化，通过逆映射（反演）问题的解答求得原问题的解。如平面几何的问题转化为解析几何的问题得以解决是映射法的成功应用。

求变法是初中实现化归的常用方法，它包括恒等变换法与参数法。如通过代数式的恒等变换实现代数方程的求解，利用待定系数法求解问题也是参数法的一种具体体现。

2.集合思想

人们在认识大量客观事物时，经常把具有某些共同特征的事物集中到一起，视为一个整体，再对其进行统一的研究与处理。例如，在新概念的教学中，集合思想利于新概念的内涵与外延的理解，内涵是概念包含对象的一切基本属性的总和，外延是指适合于这个概念的一切对象。概念间的同一关系、从属关系都体现为外延集合或内涵集合的相等、包含关系，有助于从整体上把握概念本质。在初中数学教学中方程（组）的解、一元一次不等式（组）的解、作函数图像、图形的变换、点运动的轨迹等等问题都是集合思想的重要载体。

集合思想在初中数学教学中主要从以下两个途径渗透。

一是用集合思想中的并集思想，分类讨论同一个集合中不同子集的问题。

二是利用集合思想中的交集思想，讨论不同事物的共同属性。

3.数形结合思想

运用数形结合思想研究问题时有以下途径。

“由数思形”，即运用图形的性质解决数的问题。图形具有形象直观的特点，因此构造图形解决数的问题，可以将较抽象的代数问题形象化，能引导学生在逻辑思维的天地开辟出另一新天地——形象思维，两者的结合，能极大减轻学生对一些抽象问题的理解。如在初中一年级这样的低年级段，运用数轴理解数的分类、相反数、绝对值等抽象概念；又如，“两点之间，线段最短”这一基本的几何图形的性质，解决了不少代数中的最值问题。另外，在函数的学习过程中也自始至终渗透着数形结合思想。

“由形思数”，即运用代数知识研究几何图形的问题。解析几何问题的求解可以说是由形思数的典型代表。另外，勾股定理的教学、运用边角等一些数量关系，判断图形之间的关系也是“由形思数”的体现，如运用三边的数量关系判断三角形的类别，判定两个三角形全等运用“SSS”“SAS”“AAS”“ASA”这些边或角的数量关系，同理，三角形的相似问题中也处处体现着由形思数的运用。而初中最早渗透“由形思数”解决几何问题的应该是在判定两条直线的位置关系中，运用“三线八角”中角的度数的关系。

数形结合思想并不局限于“由数思形”或“由形思数”，更多地数形结合才真正地将直观与抽象融合在一起，无论哪种途径都是实现从未知向已知的一种转化，是新知探索的重要方法。

4.模型思想

初中数学教学常见的模型思想包括：方程（组）模型、不等式（组）模型、函数模型、几何问题中最短距离模型等。模型思想比较集中体现在实际应用类问题与几何图形构建最优方案的问题的解决上。方程（组）模型、不等式（组）模型、函数模型三种模型的共同点是，将现实情境问题转化为数学模型进行解决，同一个数学模型可以解决不同的现实情境问题。它们的本质都是将生活中的各种量用代数式表示，都体现了符号思想。

5.类比思想

类比的运用关键在于“求同存异”——“求同”是指通过分析找出两个研究对象的“类似之处”，这是学生进行类比的前提，但并不要求这两个研究对象在所有方面都相似，只要它们在某一方面或在某一抽象层次上是相似的即可。“存异”是指学生需要创造性地对两个对象之间的差异做适当的调整。如一元一次不等式与一元一次方程，这两个对象在形式上与属性上都有很多类似之处，在不等式或方程的两边同时加上（或减去）同一个数，不等式或方程仍成立，这便是求同；而当在不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数时，不等式的方向要改变，这一性质与方程的截然不同，这就是“存异”。因此，在探索一元一次不等式的解法时，可以类比一元一次方程的解法按去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为“1”这样的基本步骤完成，只需要格外注意一点，当化系数为“1”时两边同时乘以（或除以）一个负数时，要改变不等式的方向。

实现类比的途径较多，主要有平面与空间的类比、数与形的类比、有限与无限的类比等，类比与化归思想都关注事物之间的联系，即需要学生用联系的观点分析问题、解决问题。

6.特殊化与一般化

特殊化可以通过将可变对象变换成固定对象、将研究对象加进限制条件、研究一类对象中的一个或一些对象实现。如在探索一些运算法则时，往往通过一些特殊的例子，归纳出相应的法则。如探索有理数的乘方运算法则教学片断。

教师：今天我们一起探索有理数的乘方运算，类比前几个课时有理数的加减、乘除运算法则的探索，同学们是否知道如何开始我们的探索之旅？

学生：我们可以先从一系列特殊的数的乘方开始探索。

教师：你们想从哪些特殊的数开始呢？

学生：（-2）2、（-2）3、（-3）2、（-3）3…

在教学中列出一系列有理数的乘方，在学生运用特殊化，再结合分类讨论，从有理数的两重结构——符号与绝对值两方面探索。