基本原则和方法: 初中数学思考教学

美国心理学家布鲁纳在强调学习学科的基本理论和观念时指出：“懂得基本原理和应遵循的原则会使学科更易理解”，“领会基本原理是通向适当的训练迁移的大道，缩小‘高级’和‘初级’知识的差距”。^[6]因此，笔者认为进行数学思想方法教学，除了应遵循通常的数学教学的基本原则外，还应遵循以下六条基本原则^[7]。

（一）目标性原则

既然数学思想方法被纳入数学基础知识的范畴，那么数学课堂教学应该有数学思想方法的教学目标，在目前初中数学教学中，数学思想方法教学尚未得到全面落实，其主要原因之一是数学思想方法教学的目标不明确，操作性不强。遵循数学思想方法教学的目标性原则，第一，要明晰教材中的所有数学思想方法。在数学教学中，教师应结合具体的数学教学内容特点，确定每节教材中思想方法的目标内容，将思想方法教学目标具体化。第二，对某些重要的数学思想方法进行分解、细化，使之明朗化，具有层次性。如了解某种数学思想方法的含义及价值为第一层次，掌握某种数学思想方法的初步应用为第二层次，会应用该种数学思想方法指导思维活动，解决某些具体的数学问题为第三层次。第三，在具体的每一节课教学中，数学思想方法教学目标应与课堂教学结构的各个重要环节相匹配，形成知识目标与思想方法目标的有机整合，使之具有可操作性。

（二）渗透性原则

对于初中生来说，数学知识还不够丰富，抽象思维能力较为薄弱，把数学思想方法作为一门独立的课程开设还缺乏应有的基础。另外，数学思想方法蕴含在知识中，若不能有意识地把数学思想方法作为教学对象，使之明朗化，学生就得不到应有的熏陶。而数学思想方法教学依附于数学知识的教学，但又不同于数学知识教学。在数学思想方法教学中，教师应以数学知识为载体，挖掘教材中蕴含的数学思想方法，进行恰当、适时的“渗透性”教学。遵循渗透性教学原则需做到以下两点。

（1）挖掘渗透内容。虽然数学思想方法纳入数学基础知识范畴，但数学思想方法是数学知识的精髓，它内隐于数学知识之中，需要从数学知识中挖掘、提炼。比如，在初中一年级新学期开始的第一课，教师可以向学生有目的地渗透分类的数学思想方法：“新教材共分上下两册，上册分为四章，下册又分为三章，每章都有若干节……”，使学生刚接触到教材就受到分类思想的熏陶；又如，在寻找各种具体的有理数运算结果的规律中，渗透归纳、抽象概括的思想方法；将“两个相反数相加得零”写在“异号两数相加”的法则里，渗透特殊与一般的思想方法；有理数的大小比较借助于绝对值的概念转化为算术的大小比较，有理数的减法（除法）运算借助于相反数（倒数）概念转化为加法（乘法）运算等多处渗透化归的数学思想方法。教师只有认真钻研教材，才能正确地挖掘出课本知识中所蕴含的数学思想方法，这是课堂教学中渗透数学思想方法的前提。

（2）把握渗透的方法。由于学生数学思想方法的形成和发展，比数学知识的增长和积累需要更长的时间，且需要花费更大的精力。在教学中，教师在知识传授过程中，恰当地渗透其中数学思想方法，让学生在“数学知识的再发现”过程中，享受“创造”或“发现”的愉悦，孕育数学发现的精神品质，这才是成功的渗透方法。

（三）层次性原则

数学思想方法具有一定的层次性，数学思想方法的形成难于知识的理解和掌握，数学思想方法教学应与知识教学、学生认知发展水平相适应，数学思想方法教学应遵循逐级递进、螺旋上升的原则，即遵循阶梯式的层次结构。由表及里、由浅入深、循序渐进、逐步渗透，结合不同阶段不同内容的知识教学，有意识地反复渗透同一个数学思想方法。在实验研究中，笔者认为数学思想方法教学一般要经过“感受—认识—形成—内化”四个由低到高的层次。下面以数形结合思想方法教学为例，简要说明四个层次的内容。

（1）感受是指“察觉”或“留心”某一事实，萌发关注它的某种意愿，并以数学知识为载体，以教材中蕴含的数学思想方法为重点，着重理清渗透的思路，激发起学生学习的激情和兴趣。

（2）认识是指“接纳”或者“建立”数形结合思想观点，是感受基础上的一种向往。学生应具备两点，一是能理解数形结合思想的含义，二是初步掌握数形结合思想的综合方式。

（3）形成是指“向往”或“操作”数形结合思想，在认识的基础上做出简单操作，要求学习主体通过理解形成自己的思想观点，尝试运用这种思想去解决简单情形的“问题”，了解数形结合思想的使用范围和局限性，要使学生对数形结合思想从知识状态发展到认知状态。思维认识的发展过程就是在实践活动中，主体对客体的认识结构不断建构的过程。

（4）内化是指在应用发展基础上，将数形结合思想内化为性格特征和行为准则，逐步形成“模式”，学会从思想上区别、综合，形成自己特有的观念，从而有意识地尝试用数学思想方法指导自己的思维活动，提高独立探索问题的能力。(www.xing528.com)

由于数学思想方法有浅显与深奥之别，学生的认知水平和数学思想方法的发展程度也不尽相同。不同数学思想方法的教学层次划分也不一样，即使是同一种数学思想方法，它的四个层次的确定也并不唯一，而应依据实际做出较为合理的层次划分。

（四）概括性原则

所谓概括就是将蕴含于数学知识体系中的思想方法归纳、提炼出来。在教学中，遵循概括性原则，将统摄知识的数学思想方法适时概括出来，可以加强学生对数学思想方法的运用意识，也能让学生对运用数学思想方法解决问题的具体操作方式有更深入的了解，有利于灵活运用所学知识，形成独立分析问题、解决问题的能力。

概括数学思想方法一般可分两步进行：一是揭示数学思想方法的内容、规律，即将数学对象共同具有的属性或关系抽取出来，这也就是“概”字的含义；二是明确数学思想方法与知识的联系，即将抽取出来的共性推广至同类的对象上去，即把知识从特殊性认识上升为一般性认识。比如，通过解方程与，发现二者都可用换元法求解，在此基础上推广至方程，也可用换元法求解。由此概括出换元法可以将复杂方程转化为简单方程，从而认识到化归思想方法是对换元法的高度概括，还可进一步认识到数学思想方法是数学的灵魂，它是对数学知识的高度概括。

（五）系统性原则

教学的任务之一就是建立和完善学生的认知结构，只有把各个局部的知识和某种观点组成一个系统，才便于储存，提取和应用，形成一个较完善的认知结构。数学思想方法是以数学知识为载体的，是通过教学过程逐步渗透的，受内容、进度、时间等因素的制约，因而平时的渗透是间断的，带有一定的局限性。这样就不可能使渗透过程深入和系统化，不便于学生形成完整的认知结构，所以随着知识的深化和系统化，要适时地把体现数学思想方法的分散问题集中起来，加以归纳使之系统化。

（六）学生参与原则

学生数学思想方法的发展水平最终取决于自身参与数学活动的程度。数学思想方法教学是数学思维活动过程的教学，是思维操作的动态型的教学，既源于知识教学又高于知识教学。知识教学是认知结果的教学，是重记忆理解的静态型的教学，学生无独立思维活动过程，具有鲜明的个性特征的数学思想方法也无法形成。遵循学生参与原则，就是在实际教学中，教师要特别注重营造教学氛围，要给学生提供思想活动的素材、时机，悉心引导学生积极主动地参与到数学知识的发生过程中，在亲历的实践活动中，接受熏陶，不断提炼思想方法、活化思想方法，形成用思想方法指导思维活动，探索问题解答策略的良好习惯。数学思想方法也只有在需要该种思想方法的教学活动中才能形成。

（七）目标性原则

数学思想方法是隐含在数学知识的背后，新课标将数学思想方法纳入数学基础知识范畴。在数学学习时，学生往往只注意表面的数学知识，而不注意深层的思想方法。这就给发展学生数学思想提出了新的要求：数学教学既要有知识技能的目标，也要有数学思想方法的目标。教师在进行数学思想方法教学时，应该以数学知识为载体，把隐藏在知识背后的思想方法显示出来，通过知识教学过程达到思想方法教学的目的。否则，落实数学思想方法的教学就得不到保障。例如，在教“转换”时，教材中只要求学生对事物进行转换，并没有明确地把“转换法”技巧表述出来，这就需要学生用心领悟，但这不是每个学生都能做到的。实施数学思想方法教学，要求教师把隐蔽的内容升华为明晰的内容，这就需要教师在教材的理解与研究上下一番功夫。以义务教育初中数学教材为例，共约反映出三大类十八种重要的数学思想方法。按照从具体到抽象，从低级到高级，可划分为：逻辑性思想方法（分类、类比、演绎、归纳、反证、特殊化）；策略性思想方法（数形结合、化归、抽象概括、方程与函数、符号与变元、整体与系统）；操作性思想方法（配方法、换元法、判别式法、代定系数法、构造法和参数法）。教师需要充分重视数学思想方法的渗透和总结、提炼，把思维能力的培养落到实处，不过分追求特殊方法和技巧；用数学思想指导知识、方法的灵活运用，培养学生思维的发散性、敏捷性、灵活性、抽象性、深刻性、严谨性、进行一题多解、引申推广、解法简捷。确立进行发展的数学思想方法的教学目标，挖掘教学内容中所体现的数学思想方法，对某些重要的数学思想方法要进行细化，分解、列出若干个目标逐步实施。

（八）重复性原则

数学知识教学与数学思想方法教学有着重要的区别，数学知识教学是数学认识活动结果的教学，重在记忆理解，呈静态点型；数学思想方法教学呈动态线型，是数学活动过程的教学，重在领会应用。通常情况下，学生在学习时，对数学思想的掌握需要有一个过程，学生会对所面临的知识做出反应，依据智力的、非智力的各种因素以及原有的数学修养，在头脑中形成一种前提条件，即以何种立场、角度或观点去看待将要学的知识。需要引起注意的是，教师应该以学生现有的思维发展水平为依据进行教学，要让学生积极参与整个教学过程，使数学知识在他的头脑中形成一种心理学上称为“表象的产物”，该过程是一种由感知到抽象思维过渡的必要中间环节。在较为丰富的感性认识的基础上，经过多次反复后，逐步抽象、概括从而形成理性认识。此外，教师在教学中对学生提出的要求要恰当，改进数学知识的呈现方式，从具体材料入手开展教学，更要能接受学生看待问题的方法。组织学生积极参与教学过程，因为离开数学活动过程思想方法也就无从谈起。所以，数学思想教学应遵循重复性原则，不能有急功近利思想；应扎扎实实，不能期望有立竿见影之效果；应长期不懈地进行探索，不能浅尝辄止。