数形结合方法：数与形之间的一一对应关系的实用性解析

（一）数形结合方法内涵

数和形这两个基本概念，是数学的两块基石，在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化。数形结合的思想方法，就是把问题中的数量关系与相应的图形结合起来，由数的性质得到相应图形的特征，或由图形的特征得出相应的数量关系，从而解决问题的思想方法。

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。

初中数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，另一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为“数形结合”，或形数结合。“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的。

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：一是借助于数的精确性来阐明形的某些属性，二是借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系。即数形结合包括两个方面：一是“以数解形”，二是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。

（二）数形结合方法实际应用

数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题。

（1）解决集合问题。在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。

（2）解决函数问题。借助于图像研究函数的性质是一种常用的方法。函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。

（3）解决方程与不等式的问题。在处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题；在处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。(www.xing528.com)

（4）解决三角函数问题。有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图像来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。

（5）解决线性规划问题。线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。

（6）解决数列问题。数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图像进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。

（7）解决解析几何问题。解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想，运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。

（8）解决立体几何问题。在立体几何中用坐标的方法，将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。

【注释】

[1]谢祥，周北川，赵刊.数学方法论在数学教学教育中的应用[M].成都：西南交通大学出版社，2009：132.

[2]徐国忠，胡开建.科学方法100问[M].上海：上海科学普及出版社，2005：196.