深入理解数学抽象方法：点、线、面的数学概念与理解数学知识间的相互关系

抽象性是数学的一个最基本特征，无论是数学概念，还是数学方法都是抽象的。数学抽象方法是数学研究中的一种基本方法。

（一）明确何谓数学抽象方法

数学抽象方法是一种科学抽象方法。它是从考虑的问题出发，通过对各种经验事实的观察、分析、综合和比较，在人们的思维中撇开事物现象的、外部的、偶然的东西，抽象出事物本质的、内在的、必然的东西，从空间形式和数量关系上，揭示客观对象的本质和规律，或者在已有数学知识的基础上，抽象出其某一种属性作为新的数学对象，以此达到认识事物本质和规律目的的一种数学研究方法。例如，几何中的“点”的概念是从现实世界中的水点、雨点、起点、终点等具体事物中抽象出来的，它舍弃了事物的各种物理、化学等性质，不考虑其大小，仅仅保留其表示事物的性质。

（二）数学抽象的三个基本特征

在数学抽象中，舍弃了客观对象的其他各个属性而仅保留其量的属性。在这里量的概念随着人类实践的发展，包含的内容越来越丰富。古典数学所谓的量通常是指“形”和“数”这两个基本含义，现代数学的量通常是指数学的关系结构系统。

数学抽象是一种构造性活动，即借助于明确的定义“构造”出了相应的数学对象，称为数学对象的“逻辑建构”。只有通过这种逻辑建构，数学对象才能由内在的思维活动转化为“外部的”独立存在，相应的数学结论也才能摆脱思维活动所必然具有的“个体性”，并获得作为科学知识所必须具有的“普遍性”。例如，垂直这一概念对于不同的人来说可能具有不同的心理图像，但是在数学中所研究的则是由这一概念的定义所能推出的逻辑结论，从而使之成为一种客观知识。

数学抽象有着丰富的层次性，它可以从现实世界客观事物中抽象，又可以在已有数学知识的基础上进行抽象，其抽象所达到的高度远远超出了其他科学的一般抽象。现代数学发展的一个重要特点，就在于它的研究对象已经从具有直观意义的量的关系和形式，扩展到了可能的量的关系和形式。这表明了数学抽象所达到的特殊高度。这些高度抽象的概念，与真实世界的距离如此遥远，以至常常被称为“思维的自由想象与创造”物。

（三）数学抽象的类型

数学抽象的常用方法有理想化抽象、等价抽象、强抽象和弱抽象等，现分述如下。

1.理想化抽象

理想化抽象是一种特殊的数学抽象，它是对客观事物或现象，从量的方面进行简单化、完善化的加工处理，通过将现实中客观事物或现象所必须固有的量的性质和关系的抽象化，并把原则上不可能属于其现实原像的量的特征，引用于被构成概念的内涵之中。例如，几何中点、线、面等基本概念的引进，就是进行理想化抽象的结果。通过理想化抽象得到的数学概念未必与原型相符。例如，在现实世界中，根本找不到没有大小的点、没有厚度和宽度的线、没有厚度的面。但这些点、线、面的数学概念更加深刻、正确、完全地反映了客观事物的属性，因此，它不是远离事物，而是更加接近事物。由此看出，理想化抽象是主观的抽象形式与客观的具体内容的辩证的统一。这种方法不仅对于数学概念是十分重要的，而且对于建立数学模型也是必不可少的。欧拉把哥尼斯堡七桥问题转化为一笔画问题的数学模型，就是利用了理想化抽象的方法。

理想化抽象的结果在数学中表现出各种不同的结构形式，既有图形又有解析表达式；既有具体的数学，又有一般的抽象符号系统等。(www.xing528.com)

2.等价抽象

等价抽象是借助于等价关系给出已知集合的一个划分，然后将其中等价的元素“同一化”，而得到一个新集合的一种方法。

等价抽象方法是建立在新的数学系统中的常用手段之一，在数学研究中有着广泛的应用，数学很多重要概念的出现都是由此方法而推导出的，这种方法在解题中常常发挥其效力。

3.强抽象

强抽象亦称为“强化结构式抽象”。它是指通过引入新特征强化原结构来完成抽象，从而使获得的新结构为原结构的特例。也就是说，强抽象是通过扩大原概念的内涵，来建立新概念的抽象方法。例如，由任意三角形概念出发，若加强对“边”的属性限制，要求二边相等或三边相等，这样就获得等腰三角形或等边三角形的两个新概念；若加强对“角”的属性的限制，比如，要求一个角为直角，通过这样的强抽象，就可以获得直角三角形的概念；再如，在函数概念中引进连续性概念，就构成连续函数概念。

4.弱抽象

弱抽象亦称“概念的扩张式抽象”。它是指从原型中选取某一特征，并减弱这一特征的限制加以抽象，从而获得比原结构更广泛的结构过程。弱抽象是通过缩小原概念的内涵，来建立新概念的数学抽象方法。例如，全等形具有面积相等，形状相似的性质，如果从这一概念出发，减弱对“面积相等”的限制，保留“形状相似”的属性，利用弱抽象法，就可以获得相似形的概念。

一般最先被人们认识的一些比较具体、较直观事物对象，如果其内容结构非常丰富，这时就可以采用弱抽象方法，引入新概念。

一般来说，如果人们认识的事物对象其内容结构形式不够丰富，这时可采用强抽象方法引入新概念。当然，还可以根据与弱抽象思维方式完全相反的特点，来分析数学概念的层次结构，理解数学知识间的相互关系。例如，在四边形中，增加“两组对边分别平行”这个条件，通过强抽象可得到平行四边形的概念；从平行四边形的概念去掉“两组对边分别平行”的限制，由弱抽象便可得到四边形的概念。可见，在初等几何中平行四边形的概念在各种四边形的概念中占有特别重要的地位：它既是对一些概念，如矩形、菱形、正方形等强抽象的出发点，又是对梯形、四边形等弱抽象的出发点。

这些数学抽象的方法在教学中需要教师因材施教，需要学生学会数学抽象的方法并加以运用，达到真正提高学生核心素养的目的。