混沌动力学详解：基本概念、理论与应用

混沌是由确定性方程描述的系统产生的一种貌似无规则的、随机的现象。更确切地讲，混沌是决定性系统的伪随机性，混沌不是简单的无序，表面上没有明显的周期和对称，但内部层次却具有丰富的有序结构。混沌只能在非线性系统中产生，它是非线性系统固有的特性。

混沌现象是1963年由美国气象学家洛伦兹首次发现的。

1.蝴蝶效应

美国麻省理工学院气象学家洛伦兹为了预报天气，使用计算机求解仿真大气的13个方程式，目的是利用计算机的高速运转来提高长期天气预报的准确性。在1963年的一次试验中，为了更细致地考察结果，他把中间解0.506取出，将精度提高后，把0.506 127输回方程式。而当他喝了一杯咖啡以后回来再看，竟大吃一惊，本来很小的差异，结果却偏差了十万八千里！再次试验表明，计算过程没有问题。洛伦兹发现，由于误差会以指数的形式增长，所以一个微小的误差随着不断的推移会造成巨大的后果。于是他认定，只要系统初始条件发生无论多么微小的变化，其后运动就会差之千里。他把这种现象称为混沌现象，又形象地称为“蝴蝶效应”：南美亚马孙河流域的热带雨林中的一只蝴蝶偶尔扇动了几次翅膀，所引起的微弱气流对地球大气系统的影响可能随时间的增长而增强，甚至可能在2周以后在美国的得克萨斯州引起一场龙卷风！

蝴蝶效应表明：初始条件极细微的变化随着时间的推移会显著地影响系统的宏观行为，反映在状态空间中，其轨迹如图4.2所示。

混沌的发现是对经典科学的猛烈冲击，它使得人们对事物未来的发展的预见成了不可能。洛伦兹得出这样的结论：大气本身是混沌的，混沌使我们预报天气的能力受到根本的限制。不过，这里指的是长期天气预报，短期天气预报，如一两天的有限地区的天气预报还是相当可靠的。天气长期预报的不可能性，不是由于我们对许多因素缺乏了解，也不是由于具体测量中的误差，而是由确定性方程和系统本身造成的，也包括在系统中包含的非线性因素。

2.函数迭代

同一函数f（x）经过多次复合运算，称为f（x）的迭代，数学中的一切递推关系都是迭代。人们通过对迭代的研究有了一个重要发现：完全确定的迭代过程，会呈现出偶然性占统治地位的随机系统的特征。

图4.2　蝴蝶效应示意图

接下来，我们讨论一个一维迭代，也称一维映射：

这里只有一个自变量x，f（x）是x的已知函数，给定初始值x0，可求得x1，再将x1代入（4.4.12）可得x2，以此类推，可求得x3，x4，…，xn。作为一般形式，可表示为

式中，xn是从x0起，以f（x）函数连续n次作用的结果。

用迭代方程研究动力学系统时，可以把系统的可能状态分为暂态和定态。暂态又叫过渡态，表示系统在某一时刻达到后又马上离开的状态，它是系统可以达到但不能保持的状态。定态又分为两种：受扰动后不能保持状态的，是不稳定定态；在小的扰动消除后，状态能够自动恢复如初的，是稳定定态。稳定定态表示系统的极限状态，是动力学最关心的问题。最简单的定态是平衡态，在数学上，平衡态是运动方程或映射的不动点。

有些迭代有不动点，而有些没有。我们设f（x）=x2，把1代进去还得到1，则1是f（x）的不动点，又设f（x）=x，不管把什么数代进去，得到的总是原来的数，因此，所有的数都是f（x）的不动点，然而，对于f（x）=x2来说，2不是不动点，又设f（x）=x+1，无论把什么数代进去得到的数总比代进去的数大1，这时，我们说f（x）没有不动点。

动力系统的另一个定态是周期态，是指按一定规则周而复始地变化的状态。设f（x）=-2x3+1.5x+0.5，将0代进去得0.5，将0.5代进去得1，将1代进去回到0，像这样继续运算下去，f（x）的值总是0→0.5→1→0→0.5→1→0……这样周而复始地循环着，0就叫作f（x）的周期点。0经过3次迭代回到0，我们把0叫作f（x）的3周期点。一般地，如果从x开始，按照公式xn+1=f（x）迭代，经过一定次数又回到x0，x0就叫作f（x）的周期点。如果x0迭代k次能回到x0，而一旦迭代次数小于k次，就不会到x0，那么x0这个周期点就叫作k周期点，它的周期为k。周期点虽然不像不定点那样稳定，但由于呈现出周期性，因此容易被把握，而那些无论迭代多少次都不回到x0的非周期点，它们的规律是难以被人们把握和认识的。

对于一个方程，当我们对它进行迭代运算而不是求解时，它的性质就发生变化了，这个方程变成了一个过程，而不是一种状态；它变成动态的，而不是静态的。一个数代进去，得到另一个数，一个新的数再代进去，又得到一个数……如此继续下去。这些点会产生某种行为。一种行为可能是定态，另一种行为可能是收敛到周期重复，还有一种行为可能是非周期性的混沌。在迭代中，混沌是无论经过多少次迭代都不会回到初始值x0的非周期点。

3.一个混沌模型——虫口模型

人们一直认为，一个系统的随机性来自大数现象，例如，一个容器中大量的气体分子。后来科学家们发现，即使不存在大数现象，一个简单的确定性方程也能产生随机性，甚至可以用严格的数学方法去证明，这样的随机行为与公认的随机过程（如掷骰子）没有什么不同。这种随机行为与外界的噪声无关，是由系统本身产生的，是由确定性方程（如迭代）本身产生的。

例如，在某个生态环境中，一个岛屿上有一种昆虫，当年繁殖，来年孵化成新的昆虫。如果将每年的某个季节作为考察的时间段，证明j年后，虫子的数量为xj。那么，第j+1年的虫子数量xj+1受两种条件制约：一是由繁殖导致的自然增长，它与xj有关，设α为增殖系数，则增殖数为αxj；二是由于生存空间和食物的有限导致了竞争和相互残杀，使虫子数量相应减少，这与成正比，设β为减少系数，故总共减少数为。这样可得：

这就是著名逻辑斯蒂（Logistic）方程，也即虫口模型。为了简单起见，令xi=α/βxj，方程化为标准形式：(www.xing528.com)

它又称为Logistic差分方程模型。式中xi和xi+1分别表示第i代（亲代）和第（i+1）代（子代）虫口的数量；μ是昆虫生活条件相关的一个控制参数。知道xi就可以求出xi+1，知道xi+1就可以求出xi+2，以此类推。它表现了一种迭代过程：

二次函数（4.4.17）的图像原本不过是简单的抛物线，但迭代之后情况就发生了变化。每迭代一次，指数都会增加，函数形状更加复杂，通过迭代把非线性函数的复杂性放大了。一旦参数μ＞1.5，xn随n而起伏变化的规律就会出现惊人的复杂。如图4.3所示，表明此时系统的状态不再具有规律性，而是发生随机波动。大多数初始值，如掷硬币出现正反面随机地取正值或负值，没有一个确定性的过程。有人用计算机做实验，把区间［-1，1］分成等长的100段，计算xk落在哪些段的次数多。结果发现，对多数初始值x0来说，当n很大时，xk落在各小段里的机会几乎相等，人们把这种随机性叫作内在随机性。由迭代而产生的这种貌似随机而实为确定的现象被称为混沌现象。它不仅是数学家关心的问题，同时也是物理学家、生物化学家、化学家等许多领域的科学家们关注的焦点。

4.混沌的主要特性

混沌是指在确定性系统中出现的无规则性或不重复性。当一个系统进入混沌状态时，原来完全确定的系统内部就产生了随机性，这种内在的随机性会带来不可预测性。

图4.3　混沌迭代系统曲线

特别有趣的是，这种不可预测性并不是由系统方程（如迭代系统）中含有的随机项造成的。从数学上讲，确定性方程应该得到确定性结果，只要给定系统的历史状态，那么系统的未来状态就是完全被决定的。混沌系统的一个显著特征是它既是决定性的，又是不可预测的，这便构成了一个哲学难题。事实上混沌不是简单的无序和混乱，而是没有明显的周期和对称，但它却具备了丰富的内部层次结构，当观察手段的分辨率不高时，人们只能看到某一层次的结构。量子力学证明，在客观上存在着海森堡的“测不准原理”，而在数学上无理数和无穷小数是不可精确计算的，加上混沌对初始条件的敏感性，当初值有极微小的变化时，例如，初值改变10-6或10-7，混沌系统在短时间的内的结果还可以预测，这一点不同于随机系统，但经过长时间演化后，它的状态就根本无法确定，造成确定的方程得到不确定的结果。这种情况是确定性非线性方程本质特征导致的，并非来自外界的干扰。随着对混沌的研究，人们发现，原来有许多现象在本质上被认为是随机性，事实上是决定论现象的不可预测性。混沌动力学的创立，让我们在更高层次上认识到确定性和随机性、决定论和非决定论的对立统一。

过去，我们说偶然性为必然性开辟道路，然而，正是确定性方程产生出随机性，产生出混沌。在通往混沌的道路上，也总是先有周期振荡，然后再出现混沌，通过有序进到无序，进到混沌或非周期。在这里是必然性打头阵，为偶然性开辟道路。

（1）混沌对初始条件的极度敏感性

考虑下面的迭代系统：

xn+1=4xn（1-xn），

它是一个不包含随机项的确定性系统。当初始条件x0分别从相差甚小的3个初始值x0=0.1，x0=0.100 000 001，x0=0.100 000 000 1进行迭代时，开始时结果相差不多，后来就相差甚远。当迭代52次后，3个初始条件的相应结果分别是0.634 955 927 4，0.066 342 251 5，0.373 177 236 6。由此可见，3个相差不到千分之一的很近似的数，经过52次迭代以后，它们三者得到的结果的差异却非常大。

确定性系统由于初始值差之毫厘，而使得结果失之千里，不断迭代的结果，使得系统变得不可捉摸，看起来像随机过程一样，但实际上是假的随机过程，又称伪随机过程。混沌对初始条件极度敏感性的实质，不是源于初始条件的误差，而是源于非线性系统本身的固有属性，这是大自然的内在规律性。

（2）混沌现象的非周期性

自从牛顿力学建立以来，科学家们一直把宇宙看作是一个按照确定的规律有序而周期性运转着的庞大机器，并根据这种周期性预言事物的发展。经典科学非常关心事物的周期性行为，这正是经典科学的基础，然而，洛伦兹在他的大气模拟过程中发现了确定性方程能产生非周期性或混沌的现象。

非周期性的发现是对经典科学的猛烈冲击，非周期性使得人们对事物未来的发展的预见成为不可能。

下面我们进一步分析混沌系统的非周期性，这涉及一个新的概念——奇怪吸引子。它对把握混沌发生的基本条件，了解通向混沌的道路来说十分重要。

我们知道，逻辑斯蒂方程是非线性的。在线性代数方程和线性微分方程中，解的数目是固定的，不随参数的变化而变化，然而，非线性方程的解却随参数的变化而变化，甚至可以使方程的解发生重大变化，使原来的解变得不稳定，或出现新的稳定的解。使解的性质发生突变的参数值叫作分岔点。一般地，逻辑斯蒂方程要经过一系列分岔之后，才会产生混沌。当控制参数值很低时，比如，当1＜μ＜3时，逻辑斯蒂方程趋于一个定态，有不动点；当参数值μ＞3时，随着参数值增大，会出现2周期点、4周期点、8周期点，…。这种现象叫作倍周期分岔。从分岔的观点看，这是一个不断“一分为二”的过程：1周期点不稳定分岔出现2周期点，2周期点不稳定分岔出现4周期点，4周期点不稳定分岔又出现8周期点……以此类推，进入混沌状态。从吸引子的观点看，这是吸引子不断分裂的过程：1分为2，2分为4，4分为8，…，并很快达到无限。倍周期分岔是无限的，但控制参数μ却有一个极限值：μ∞=5.569 9…。从μ＞μ∞开始，这类裂变成为无穷个吸引子，我们称之为奇怪吸引子或混沌吸引子。产生无限混沌吸引子的区域叫作混沌区。

以上分析表明：当控制参数μ逐渐增大时，系统由倍周期分岔进入混沌区，在这个区域里，不存在一种模型或方法可以从现时迭代中去预言下一次迭代的结果会落在哪里，但这并不意味着它是完全随机的，因为它到底落到哪里，完全由迭代方程决定。迭代方程是一个决定论或确定性的方程，在这个方程中不包含随机的或概率性的项，同时，这里奇怪吸引子的区域也并不表示完全无序，而是没有明显的周期和对称，只能说是非周期的。

从物理意义上讲，吸引子表示系统的稳定定态，系统的运动只有到达吸引子才能稳定下来，保持下去。吸引子就好像是个有引力的东西，能将逻辑斯蒂方程xi+1=μxi（1-xi）的函数值都吸引到那里。当干扰使系统的状态离开吸引子时，系统很快就会返回到吸引子原来的状态，而奇怪吸引子表示普通吸引子不断裂变：从第一个不动点失稳出现极限环，到第二个分岔点极限环失稳，出现二维环面……最终，奇怪吸引子是一连串不稳现象的结果，此时xi+1处于何值是没有模型可寻的。下一个迭代在何处发生也是无法预测的，如果我们以逻辑斯蒂方程的自变量x为横坐标，以函数值y为纵坐标，来观察y有什么变化，从而形成什么图形，我们将会看到奇怪吸引子的曲线永不自交，它表现出的是混沌运动的非周期性。

混沌是自然界和人类社会普遍存在的现象。天体运动存在混沌；光、电与声波的振荡，会突现混沌；股票市场具有分形维度的波动，其实它是一个混沌市场；甚至连健康人的心脏跳动也并不是规则的，会出现混沌，混沌正是生命力的表现。混沌中蕴含着有序，有序过程也可能出现混沌。混沌动力学的研究表明，我们周围物质世界的运动是有序与无序、确定性与随机性、简单性与复杂性的辩证统一。由此可见，经典科学单纯追求有序、线性、精确、简单的观点是不符合客观实际的。我们真正面临的是一个纵横交错、复杂纷呈、奥妙无穷的世界，因此，对混沌科学的深入研究必将加深人们对大自然的认识与理解，同时也将对人们的科学观和方法论产生重大影响。

混沌现象不仅普遍存在，而且混沌还蕴含极其丰富的信息。混沌是一种奇怪吸引子，它包含着许多奇特的、新颖的动力学特性。如果科学家能够从中获得能够用于描述混沌系统的大量数据信息与知识，那么无论是在信息科学、电子科学、生物学、物理学、化学领域中，还是在地球科学、天文气象、经济与管理领域中，甚至在艺术、音乐等领域中都具有极其广泛的应用前途。