非线性理论的深入解析与理解

非线性指的是量与量之间不按比例，不成直线关系，代表不规则的运动和突变。如问：2只眼睛的视敏度是1只眼睛的多少倍？我们很容易想到的是2倍，实际上是6到10倍，这就是非线性关系。1+1不等于2，叠加原理在这里失效。非线性系统一般用下面的微分方程表示。

其中，f1、f2，…，fn中至少有一个为非线性函数。令C=（c1、c2，…，cn）表示控制参数向量，F=（f1、f2，…，fn），则方程（4.4.8）可以写成向量形式：

方程（4.4.9）描述的系统没有外界的强迫作用，称为自由系统。若引进外界强迫作用项G（t），则该系统称为强迫系统，其方程为

方程（4.4.9）包含时间t时称为非自制系统，其方程表示为

对于（4.4.10）和（4.4.11）所表示的系统，都可以把G（t）和t作为增加的一维新的状态变量来处理，从而转化为自由系统的形式。(www.xing528.com)

研究非线性系统的动态行为，一般难以通过分析方法来求解，而几何方法主要用于定性分析，常用的方法是用计算机进行数值计算来求近似解。

非线性系统和线性系统的区别主要有3个方面：首先，从运动形式上，二者有着本质区别，线性现象一般表现为时空中的平滑运动，并可用性能良好的函数来表示，而非线性现象则表现为规则运动向不规则运动的转化和跃变；其次，从系统对外界影响及系统参量微小变动的响应来看，线性系统的响应平缓、光滑，往往做出与外界影响成比例的变化，而非线性系统中参量的极微小变化，在一些关节点上会表现出与外界激励有本质区别的行为，比如，周期驱动的非线性振动系统可以出现驱动频率的分频、倍频，而不仅仅是重复外界的频率；最后，反映在连续介质的波动上，线性行为表现为色散引起的波包弥散、结构的消失，而非线性作用则可以促使规整性结构的形成和维持，如孤立波、涡旋等。

非线性研究的特点是，横断各个专业，渗透各个领域。20世纪中叶以后创立的耗散结构论、突变论和协同学被认为是现代非线性科学和非平衡态热力学中最令人惊奇的发现。