线性理论的基本理念和应用：叠加原理与还原论方法的探讨

“线性（linear）”来源于函数y=kx+b，它的图像是平面上的一条直线，它是自变量的一次函数，因变量与自变量成比例，所以，一般地，线性指的是量与量之间成比例关系，在空间与时间上代表规则与光滑的运动。在线性系统中，整体的行为或性质等于部分之和，描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是方程的解，叠加不会产生复杂性。线性系统的各个组成部分互不相干，各自独立起作用。例如，声音是一个线性系统，这就是双簧管和弦乐器合奏时，人们能够将它们分辨出来的原因。虽然声波相互混合，但仍然保持各自的特点。光线也是一个线性系统，因此，在晴天，人们能够看见马路上可以通行或禁止通行的指示灯，指示灯发出的光线不会与高处的阳光发生干扰，所以我们能看清指示灯。各种光线独立行进，相互穿过，好像其他光线不存在似的。因为线性系统的各个组成部分是彼此独立的，整体作用等于部分作用之和，发出声音的个体越多，声音就越大；发出光线的个体越多，光线就更亮。

线性理论的研究对象为线性系统，主要研究系统状态的运动规律和改变这种运动规律的可能性方法，从而建立和揭示系统结构、参数、行为和性能之间确定的、定量的关系。在对系统进行研究的过程中，建立合理的系统数学模型是首要的前提。对于线性系统，我们常用的数学模型有时间域模型，一般为多元一阶联立微分方程。

令状态向量为

系数矩阵为

则系统的动态方程（4.4.1）可以写成向量形式：

若系数矩阵A不随时间变化，动态方程（4.4.1）则成为常系数微分方程，易于求解；若系数矩阵是时间t的函数，系统矩阵记为A（t），则成为变系数微分方程，不易于求解。

设x表示系统输入量，f代表某种数学运算，k为常数，f（x）表示x对施加f运算后的结果，如果满足条件：

则称数学运算f是线性的。取a，b为常数，可将式（4.4.5）与式（4.4.6）合并为

这称为叠加原理。显然，线性系统满足叠加原理，系统整体作用等于各部分作用之和是其基本特征。

常微分方程对系统动力学行为的描述是，在初始状态（条件）确定的情况下，系统未来的状态（行为）是可以决定的。这样的思想奠定了线性科学中决定论的基础。

线性系统的数学模型除了时间域模型之外，还有频率域模型和状态空间模型。时间域模型比较直观，频率域或其他变换域模型则是一个更强大的工具。当我们不仅要研究系统的输入输出关系，还要深入到系统内部状态进行详细研究时，就需要采用状态变量模型。建立线性系统模型的方法基本是解析法、实验法和模拟法（或计算机仿真法）。(www.xing528.com)

从经典力学、量子力学直至相对论，其理论模型都是建立在线性逻辑基础上的。牛顿力学对动力系统的研究是基于线性振子模型的。其主要运动特征是产生等幅的周期震荡。分析周期运动的方法是频谱分析法。量子力学和信息论对随机现象的研究发展了线性模型，其主要运动特征是产生振幅无规则、时间序列不相关的无序扰动。分析随机运动的方法是相关分析法。随着现代控制论的发展，人们不仅仅只满足于研究系统输出量的变化，还试图研究系统内部的一些变量，以便设计和控制这些参数，从而达到最佳控制的目的。这就提出了便于进一步揭示系统结构特征的2个概念：可控制性与可观测性。分析系统运动的方法是状态空间法。

总之，对周期运动、随机运动，以及状态空间运动的分析研究，在自然科学和空间技术中都得到极其广泛的应用。

早在17世纪，科学家们便提出了把复杂的事物分解为较为简单因素的组合，先找出这些因素的规律，再用逻辑推导出整个系统的规律的方法。这种认识世界的方法叫作还原论方法，这也是线性理论分析问题的基本方法，它具备以下3个层面的特征。

（1）本质层面。事物都有组成结构和层次，每个层次对上一层来说是微观的，对下一层次又是宏观的。低层次的变化达到一定强度时，可能会引起高层次质的改变。

（2）认识层面。还原论能从关于部分（或低层次）的概念、定律和理论中推导出关于整体（或较高层次）的概念、定律和理论，当然完成这样的推导需要一些条件。

（3）方法层面。还原论在对事物进行研究时，把整体分解为部分，或把高层次的物质结构分解为较低层次的物质结构，它认为整体仅仅是其部分之和。

还原论方法主导着以往300年来的科学发展，并取得了辉煌的成就。牛顿、爱因斯坦、玻尔、海森堡等物理学界的先驱，都试图把万事万物还原成简洁的法则，并用这些法则去重新构建整个宇宙，但是，哲学家以一贯审慎的态度提出问题：知道了事物各组成部分的性质后，就可以掌握全体吗？

事实上，科学家们早就注意到，部分与整体之间存在着一些不连贯的对应关系。德国著名物理学家普朗克曾经这样论述科学：科学是内在的整体，它被分解成单独的整体，不是取决于事物的本身，而是取决于人类认识能力的局限性。

严格地说，真正的线性系统是不存在的，一切实际的系统都是非线性的。研究线性系统的意义在于，在现实世界中，有相当一部分实际系统，它们的一些主要关系特征，在一定的范围内，可以充分精确地用线性系统来加以近似，而线性系统又具有相当好的分析性质，这正是研究线性系统的实际背景。

线性系统已经形成完备的内容体系，取得了巨大的成就，但由于整个世界，从宏观到微观本质上都是非线性的，这就决定了非线性理论研究更加具有实际的意义。