抽样分布学习笔记：样本比例与样本方差比的详解

考情提要

续表

考点精讲

（一）样本比例的抽样分布

我们常常假定总体中对具有某一特征产品的喜好比例为π，在此条件下去研究从总体中随机抽取n个个体进行调查时，喜好某一产品的个体数X的概率。在实际应用中我们关心的正是总体中喜好某一产品的个体数比例π。如果样本大小为n的样本中具有某一特征的个体数为X，样本比用表示成（来估计总体比例π）。

由二项分布的原理和渐近分布的理论可知，当n充分大时，的分布近似服从均值为π、方差为的正态分布，即

【例6.10】

设总体比例为0.2，从总体中抽取容量为100的样本，则样本比例的标准差为多少？

【解析】

由二项分布的原理和渐近分布的理论可知，设总体比例为π，当n充分大（n=100＞30）时，样本比例的标准差为。

知识点补充

（1）一般来讲，当np≥5，并且n（1-p）≥5时，就可以认为n充分大。

（2）当不重复抽样时，样本比例的分布为，对于无限总体，不重复抽样可以视为重复抽样计算方差。对于有限总体，当N很大，且n／N≤5%时，修正系数会趋向于1，这时也可以按照重复抽样的计算方法计算样本均值的方差。

（二）两个样本平均值之差的分布

设是独立地抽自总体X1～N（μ1，）的一个样本容量为n1的样本均值，是独立地抽自总体X2～N（μ2，）的一个容量为n2的样本均值，则有

如果两个总体均为正态分布，则也为正态分布，其均值和方差就符合上述均值和方差的计算公式，即

【例6.11】

甲、乙两所著名高校在某年录取新生时，甲校的平均分为655分，且服从正态分布，标准差为20分；乙校的平均分为625分，也是正态分布，标准差为25分。现从甲、乙两校各随机抽取8名新生计算其平均分数，出现甲校比乙校的平均分低的可能性有多大？

【解析】

因为两个总体均为正态分布，所以8名新生的平均成绩也分别为正态分布，也为正态分布，且

甲校新生平均成绩低于乙校学生平均成绩，即，故

由此可见，出现甲校新生平均成绩低于乙校新生平均成绩的可能性很小。

（三）两个样本比例之差的分布

设分别从具有参数为π1和参数π2的二项总体中抽取包含n1个观测值和n2个观测值的独立样本，则两个样本比例差的抽样分布为(www.xing528.com)

具有下列性质：

①=π1-π2，

②当n1和n2很大时，的抽样分布近似为正态分布，其均值与方差为上述计算公式，即

（四）样本方差的分布

设X1，X2，…，Xn为来自正态总体N（μ，σ2）的简单随机样本，则样本方差S2的分布为

式中，将χ2（n-1）称为自由度为n-1的χ2分布。

（五）两个样本方差比的分布

设X1，X2，…，Xn1是来自正态总体N（μ1，）的样本，Y1，Y2，…，Yn2是来自正态总体N（μ2，）的样本，且Xi（i=1，2，…，n1）与Yi（i=1，2，…，n2）相互独立，则

F（n1-1，n2-1）是第一自由度（分子自由度）为n1-1，第二自由度（分母自由度）为n2-1的F分布。

真题精练

1.某批产品的合格率为90%，从中抽出n=100的简单随机样本，以样本合格率^p估计总体合格率，则的期望值和标准差分别为（　）。

A.0.9，0.09

B.0.9，0.03

C.0.9，0.3

D.0.09，0.3

【2011浙江工商大学】

2.已知正态总体X的均值为3，方差为25，从该总体中随机抽取容量为25的样本：X1，，则的均值和方差为（　）。

A.0，24

B.3，25

C.0，1

D.3，1

【2014重庆大学】