深入解析统计量：概念、应用及充分统计量的理解

考情提要

考点精讲

（一）统计量的概念

设X1，X2，…，Xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本，如果由此样本构造一个函数T（X1，X2，…，Xn），不依赖于任何未知参数，则称函数T（X1，X2，…，Xn）是一个统计量。通常，又称T（X1，X2，…，Xn）为样本统计量。

知识点补充

（1）统计量是样本的一个函数，是由样本数据计算得到的一个量。

（2）统计量是一个随机变量，统计量的分布称为抽样分布。

（3）尽管统计量不依赖于未知参数，但是它的分布一般是依赖于未知参数的。

【例6.1】

在抽样推断中，样本统计量是（　）。

A.未知但确定的量

B.一个已知的量

C.随机变量

D.唯一的

【答案】C

【解析】统计量是用来描述样本特征的概括性数字度量，是由样本数据计算的一个量，由于抽样是随机的，因此统计量是样本的函数，是随机变量。

【例6.2】

设总体X～U］，其中θ为未知参数；又设X1，X2，…，Xn为来自总体的一个样本，令，则当μ为（　）时，S2不是统计量。

【答案】B

【解析】由于统计量不能含有未知参数，故只有在μ为D（X）时，S2当中含有未知参数θ。

（二）常用统计量

当n充分大时，有定理可以保证经验分布函数Fn（x）很靠近总体分布函数F（X）。因此，经验分布函数Fn（x）的各阶矩就反映了总体各阶矩的信息。通常把经验分布函数的各阶矩称为样本各阶矩。常用的样本各阶矩及其函数都是实际应用中的具体统计量。

常用统计量：样本均值、样本方差、样本变异系数、样本k阶矩、样本k阶中心矩、样本偏度、样本峰度。

（1）是样本均值，它反映出总体X数学期望的信息。

（2）是样本方差，它反映的是总体X方差的信息。

（3）是样本变异系数，它反映总体变异系数C的信息。其中变异系数定义为C=，它反映出随机变量在以它的均值为单位时取值的离散程度。此统计量消除了均值不同对不同总体的离散程度的影响，常用来刻画均值不同时不同总体的离散程度。

（4），称mk为样本k阶矩，它反映的是总体k阶矩的信息。

（5），称vk为样本k阶中心矩，它反映的是总体k阶中心矩的信息。

（6），称α3为样本偏度，它反映的是总体偏度的信息。(www.xing528.com)

（7），称α4为样本峰度，它反映的是总体峰度的信息。正态分布的峰度为0。

（三）次序统计量

设X1，X2，…，Xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本，X（i）称为该样本的第i个次序统计量，它是样本（X1，X2，…，Xn）满足如下条件的函数：每当样本得到一组观测值x1，x2，…，xn时，其由小到大的排序x（1）≤x（2）≤…≤x（i）≤…≤x（n）中，第i个值x（i）就作为次序统计量X（i）的观测值，而X（1），X（2），…，X（n）称为次序统计量。其中，X（1）和X（n）分别为最小和最大次序统计量。

R（n）=X（n）-X（1）称为极差，它反映的是样本的离散程度。

知识点补充

次序统计量的分布。

设总体X的密度函数为f（x），分布函数为F（x），X1，X2，…，Xn为样本，则第k个次序统计量X（k）的密度函数为

（四）充分统计量

在统计学中，假如一个统计量能把含有样本中有关总体的信息一点都不损失地提取出来，那就对保证后边的统计推断质量具有重要意义。统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量称为充分统计量。

【例6.3】

某电子元件厂欲了解其产品的不合格率p，质检员抽检了100个电子元件，检查结果是，除前3个是不合格品（记为X1=1，X2=1，X3=1），其他都是合格品（记为Xi=0，i=4，5，…，100）。当企业领导问及抽检结果时，分析质检员给出如下两种回答：

（1）抽检的100个元件中有3个不合格（记为；

（2）抽检的100个元件中前3个不合格（记为X1=1，X2=1，X3=1）。

【解析】

这两种回答就反映了质检员对样本的两种不同处理思想。这两种回答所用的统计量分别为

显然，统计量T2不包含样本中有关p的全部信息，因而不能令人满意，而统计量T1综合了样本中有关p的全部信息，使样本信息没有任何损失。

真题精练

1.设总体X～N（μ，σ2），其中μ已知，σ2未知，X1，X2，X3是从总体中抽取的样本，下列各项不是统计量的是（　）。

【2017浙江工商大学】

2.设X～N（μ，σ2），其中μ已知，σ2未知，X1，X2，X3为样本，则下列选项中不是统计量的是（　）。

【2016中央财经大学】

3.在抽样推断中，需要推断的总体参数是一个（　）。

A.统计量

B.已知的量

C.随机变量

D.未知的量

【2014中央财经大学】