随机变量的数学期望与方差：重要考点解析

考情提要

续表

考点精讲

（一）随机变量的数学期望

1.定义

（离散型） 设离散型随机变量X的分布列为

为随机变量X的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。若级数不收敛，则X的数学期望不存在。

（连续型） 设连续型随机变量X的密度函数为p（x），如果

为X的数学期望，或称为该分布p（x）的数学期望，简称期望或均值。若级数不收敛，则称X的数学期望不存在。

【例5.14】

设随机变量X的密度函数为

如果E（X）=2／3，求a和b。

【解析】

由正则性得

知识点补充

对数学期望的理解：

（1）数学期望简称为期望；

（2）数学期望又称为均值；

（3）数学期望是一种加权平均。

2.数学期望的性质

定理：设Y=g（X）是随机变量X的函数，g是连续函数，若E［g（X）］存在，则

【例5.15】

设随机变量X的概率分布为

求E（X2+2）。

【解析】

性质1 若c是常数，则E（c）=c。

性质2 对任意常数a，有E（aX）=aE（X）。

性质3 对任意的两个连续函数g1（x）和g2（x），有

【例5.16】

设

求X的函数2X-1的数学期望。

【解析】

（二）随机变量的方差

1.定义

若随机变量X2的数学期望E（X2）存在，则称［X-E（X）］2的数学期望E［X-E（X）］2为随机变量X（或相应分布）的方差，记为

称方差的正平方根为随机变量X（或相应分布）的标准差，记为σ（X）或σX。

2.方差的性质

性质1 D（X）=E（X2）-［E（X）］2。(www.xing528.com)

性质2 常数c的方差为0。

性质3 对任意常数a与b和随机变量X，有D（aX+b）=a2D（X）。

【例5.17】

设X为抛一颗骰子出现的点数，试求D（X）。

【解析】

【例5.18】

设

求E（X），D（X）。

【解析】

所以，D（X）=E（X2）-［E（X）］2=7／6-1=1／6。

（三）切比雪夫不等式

对任一随机变量X，若X的数学期望和方差都存在，则对任一正数ε，恒有

知识点补充

方差为零的随机变量X必几乎处处为常数，这个常数就是其期望E（X），亦可表述为若D（X）=0，则P（X=E（X））=1或P（X=a）=1，其中a为常数。

真题精练

1.掷一颗均匀的骰子600次，那么出现点数大于5的次数的均值为（　）。

A.50

B.100

C.200

D.150

【2017浙江工商大学】

2.设随机变量X的分布函数为，则E（X）=（　）。

【2015浙江工商大学】

3.随机变量X的方差为2，随机变量Y=2X，那么Y的方差是（　）。

A.1

B.2

C.4

D.8

【2011中央财经大学】

4.设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式，有估计P（|X-E（X）|≥2）≤（　）。

A.0.5

B.0.1

C.0.2

D.0.4

【2015重庆大学】

5.袋中有5个球，分别编号1，2，3，4，5，从中任取3个球，求取出的3个球中最大号码X的分布列、数学期望、方差与标准差。

【2014山东大学】