合情推理与演绎推理的差异与联系

合情推理、演绎推理几乎涉及数学方方面面的知识,代表研究性命题的发展趋势.合情推理中的归纳、类比都是具有创造性的或然推理.不论是由大量的实例,经过分析、概括、发现规律的归纳,还是由两系统的已知属性,通过比较、联想而发现未知属性的类比,它们的共同点是,结论往往超出前提所控制的范围,所以它们是“开拓型”或“发散型”的思维方法.也正因为结论超出了前提的管辖范围,前提也就无法保证结论必真,所以归纳、类比都是或然性推理.而演绎推理所得的结论完全蕴含于前提之中,所以它是“封闭型”或“收敛型”的思维方法,只要前提真实,逻辑形式正确,结论必然是真实的.

1.合情推理

(1)定义

前提为真时结论可能为真的推理,是一种或然性的推理,是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉推测某些结果的推理过程.

(2)注意点

①前提为真时,结论可能为真,也可能为假;

②学会观察、想象,养成归纳和类比的思维习惯.

2.演绎推理

(1)定义

根据一般性的真命题(或逻辑规则)推导出特殊性命题为真的推理,叫作演绎推理.演绎推理的特征是:当前提为真时,结论必然为真.

(2)注意点

①在数学中,证明命题的正确性,都是使用演绎推理.而合情推理不能用作证明;

②演绎推理是一个命题由其他命题推出,其根据是形式结构之间的关系,而与命题的具体内容无关.

(3)一般模式

“三段论”是演绎推理的一般模式,常用的一种格式.

①大前提——已知的一般原理;

②小前提——所研究的特殊情况;

③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的结论.

方法简述

1.归纳推理

(1)定义

根据一类事物的部分对象具有某种性质,推断出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫作归纳推理.

(2)步骤

①通过观察个别情况发现某些相同性质;

②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.(简称为观察、归纳、猜想)

(3)注意点

①归纳推理是从特殊到一般,从具体到抽象的推理形式,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围;

②归纳是根据已知的条件(现象)推断未知的结论(现象),因而结论具有猜测的性质;

③归纳推理是以观察、经验或实验为基础的.

例1 在数列{an}中,试猜想这个数列的通项公式.

点拨 根据已知条件和递推关系,先求出数列的前几项,然后总结归纳其中的规律,写出其通项.

解答 在数列{an}中,

所以{an}的通项公式

反思 通过归纳推理得出的结论可能正确,也可能不正确,它的正确性需通过严格的证明,本题的结论可以通过适当的变形得证.

例2图

例2 将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签:原点处标0,点(1,0)处标1,点(0,-1)处标3,点(-1,-1)处标4,点(-1,1)处标6,点(0,1)处标7,依此类推,则标签20092的格点的坐标为________.

点拨 华罗庚教授曾指出:“善于‘退’,足够地‘退’,退到最原始而不失重要性的地方,退到我们容易看清问题的地方,是学好数学的一个诀窍.”,“以退求进”策略是归纳推理的基本策略.因为20092为奇数的平方,所以我们只需归纳出奇数平方坐标的位置出现的规律即可.

解答 因为标签为12=1所对应的点为(1,0);标签为32=9所对应的点为(2,1);依题意,点的渐开规律可知标签为52=25所对应的点为(3,2);……于是猜想:标签为(2n-1)2所对应的点为(n,n-1).令2n-1=2009得n=1005,所以标签为20092的格点的坐标为(1005,1004).

反思 本解法的关键是从复杂的问题情景中通过观察、分析、比较和猜想,最终将问题转化为考查奇数的平方所成的数列与对应的点的坐标间的关系.

2.类比推理

(1)定义

根据两类不同的事物之间具有某些类似(或一致)性,其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理,叫作类比推理(简称类比).

(2)步骤

①找出两类事物之间的相似性或一致性;

②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).

(3)注意点

①类比是用一类事物的特殊性推测另一类事物的特殊性;

②类比的结果是猜测性的,不一定正确.

例3 在Rt△ABC中,若∠C=90°,则cos2A+cos2B=1,则在立体几何中,给出四面体性质的猜想.

点拨 考虑到平面中的图形是直角三角形,所以我们在空间选取有3个面两两垂直的四面体P-ABC,且三个面与平面ABC所成的二面角分别是α、β、γ.

例3答图

解答 如图(1)所示,

在Rt△ABC中,

于是把结论类比到四面体P-ABC中,

我们猜想:在三棱锥P-ABC中,若三个侧面PAB、PBC、PCA两两互相垂直且分别与底面所成的角为α、β、γ.

由此可猜想出四面体性质为:cos2α+cos2β+cos2γ=1.

反思 类比推理应从具体问题出发,通过观察、联想进行对比、归纳,提出猜想.平面问题与空间问题的类比,通常抓住平面角与二面角、面积与体积、边与面等各方面几何要素进行对比.

例4 设a>0,b>0,a+b=1,求证

点拨 通过观察已知条件和所证式子,考虑用基本不等式解题.

当且仅当a=b时等号成立,所以

反思 对不等式证明除考虑利用均值不等式外,对“1”的灵活使用值得注意.

例5 求证:函数是奇函数,且在定义域上是增函数.

点拨 一般用定义来证明函数的奇偶性和单调性.

证明 (1)∵,定义域为x∈R.

即f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.

任取x1、x2且x1<x2,则

∵x1<x2,∴2x1<2x2,2x1-2x2<0.

从而f(x1)-f(x2)<0.

∴f(x1)<f(x2),故f(x)为增函数.

综上所述是奇函数,且在定义域上是增函数.

反思 证明过程中使用了“三段论”推理规则,证明奇函数是使用定义法,使式子变形而得,如果f-x　-f(x)=0则为偶函数.(www.xing528.com)

易错解读

易错点1 推理综合分析能力弱导致错误.

解题步骤:(1)审题:认真审读原题,弄清题意,理出题设条件.(2)分析:抓住关键,找准解题的突破口,探求知识间的内在联系,进行严密的分析和逻辑推理,推出符合题意的结果.(3)解答:根据题目的要求,按照分析和推理的结果,认真而全面地解答.(4)检验:得出结论后切勿忘记验证.

例6 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时,

甲说:“我去过的城市比乙多,但没去过B城市.”

乙说:“我没去过C城市.”

丙说:“我们三人去过同一城市.”

可判断乙去过的城市为(　).

A.A　B.B

C.C　D.不确定

解答 丙说:“我们三人去过同一城市.”说明乙至少去过一个城市.

但乙说:“我没去过C城市.”所以乙可能只去过A城市或B城市或A、B两个城市都去过.

但甲说:“我去过的城市比乙多,但没去过B城市.”且乙又没去过C城市,所以三人去过的同一城市为A城市.

但甲说:“我去过的城市比乙多,但没去过B城市.”所以乙只去过一个城市为A城市,甲去过A城市和C城市.

故A正确.

反思 综合推理题的特征是:

(1)信息量很大,并且多条线索的信息互相交错混杂.

(2)一般需要综合使用表格法、排除法、代入法、特值法.

(3)推理耗费的时间一般较长,解题的时间显得尤其紧张,但是思路相对固定,万变不离其宗.因此,熟悉典型的分析思路与方法可以大大提高解题速度.

易错点2 类比推理过程中新定义理解错误.

解决“即时定义”问题,关键是读懂要求,准确理解题意,弄清“定义”的实质,抓住其本质,不要受我们所熟悉的一些“定义”干扰,问题就会得到很好的解决.

例7 对于任意正整数n,定义“n!!”如下:

当n是偶数时,n!!=n·(n-2)·(n-4)·…·6·4·2;

当n是奇数时,n!!=n·(n-2)·(n-4)·…·5·3·1.

现在有如下四个命题:

①(2003!!)·(2002!!)=2003×2002×…×3×2×1;

②2002!!=21001×1001×1000×…×3×2×1;

③2002!!的个位数是0;

④2003!!的个位数是5.

其中正确的命题有(　).

A.1个　B.2个

C.3个　D.4个

解答 根据条件中的描述,可以作出如下判断:①(2003!!)·(2002!!)=(2003×2001×…×3×1)×(2002×2000×…×4×2)=2003×2002×…×3×2×1,正确;

②2002!!=2002×2000×…×4×2=21001×1001×1000×…×3×2×1,正确;

③2002!!=2002×2000×…×4×2,等号右边的因子中有末位是0的整数,显然乘积的个位数是0,正确;

④2003!!=2003×2001×…×5×3×1,等号右边的因子中有末位是5的整数,显然乘积的个位数是5,正确.

综上所述,答案选D.

反思 解决“即时定义”问题需要仔细阅读所给材料,理解题干中所涉及的信息、知识和相关材料,并能跳出传统的思维定式进行分析、推断,最终揭示问题的实质,然后转化成熟悉的知识背景与方法背景来解决.

易错点3 归纳推理过程中图形特点观察不到位.

通过探讨所考虑特殊事例的构成要素及其构成方式而发现一般性的量性模式,其目的是归纳出一致性的数量结构模式.

例8 如图所示,小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动,小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半.如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置,在这个过程中,向量围绕着点O旋转了θ角,其中O为小正六边形的中心,则=________.

例8图

解答 从图中得出,向量绕着点O旋转,从第一个位置到第二个位置转过了60°角,从第二个位置到第三个位置转过了120°角,依次类推每一次边上是60°,转角是120°,共有6条边,6个转角,则一共就是1080°,所以

反思 本题通过对图形的观察,归纳出转过角度的规律,从而解决问题.

经典训练

1.下面使用类比推理正确的是(　).

A.“若a·3=b·3,则a=b”类推出“若a·0=b·0,则a=b”

B.“若(a+b)c=ac+bc”类推出“(a·b)c=ac·bc”

C.“若(a+b)c=ac+bc”类推出

D.“(ab)n=anbn”类推出“(a+b)n=an+bn”

2.-1,3,-7,15,(　),63,…括号中的数字应为(　).

A.33　　B.-31　C.-27　D.-57

3.当n=1,2,3,4,5,6时,比较2n和n2的大小并猜想(　).

A.当n≥1时,2n>n2　B.当n≥3时,2n>n2

C.当n≥4时,2n>n2　D.当n≥5时,2n>n2

4.定义运算例如34=4,则下列等式不能成立的是(　).

A.xy=yx　　B.(xy)z=x(yz)

C.(xy)2=x2y2　D.c·(xy)=(c·x)(c·y) (其中c>0)

5.一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是_________________.

6.类比平面几何中的勾股定理:若Rt△ABC中的两边AB、AC互相垂直,则三角形三边长之间满足关系:AB2+AC2=BC2.若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直,则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为_____________.

7.从1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),……,推广到第n个等式为_________.

8.已知,试通过计算a2、a3、a4、a5的值,推测出an=_________.

9.已知无穷数列1,4,7,10,…则4891是它的第_________项.

10.设f(n)>0(n∈N*),f(2)=9,并且对于任意n1、n2∈N*,f(n1)·f(n2)=f(n1+n2)成立,猜想f(n)=_________________________.

11.用三段论证明:三角形内角和等于180°.

12.已知数列a1,a2,…,a30,其中a1,a2,…,a10是首项为1,公差为1的等差数列;a10,a11,…,a20是公差为d的等差数列;a20,a21,…,a30是公差为d2的等差数列(d≠0).

(1)若a20=40,求d;

(2)试写出a30关于d的关系式,并求a30的取值范围;

(3)续写已知数列,使得a30,a31,…,a40是公差为d3的等差数列,……,依次类推,把已知数列推广为无穷数列.提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?